用Lagrange插值多项式计算经过三个数据点(1,2)、(-1,1)、(2,3)的抛物线

首先，我们需要找到抛物线的二次多项式形式。设抛物线为 $y=ax^2+bx+c$，则代入三个数据点得到以下方程组：

$$\begin{cases}a+b+c=2\\a-b+c=1\\4a+2b+c=3\end{cases}$$

解出 $a=1,b=1,c=0$，因此抛物线为 $y=x^2+x$。

然后，利用Lagrange插值多项式的公式：

$$L(x)=\sum_{i=0}^{n}\prod_{j=0,j\neq i}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}y_i$$

对于这三个数据点，Lagrange插值多项式为：

$$L(x)=\frac{(x+1)(x-2)}{(1+1)(1-2)}\cdot2+\frac{(x-1)(x-2)}{(-1-1)(-1-2)}\cdot1+\frac{(x-1)(x+1)}{(2-1)(2+1)}\cdot3$$

化简得：

$$L(x)=\frac{1}{3}(2x^2+2x)+\frac{1}{3}(x^2-x)+x+1=\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x+1$$

可以发现，这个Lagrange插值多项式也是抛物线 $y=x^2+x$，与我们求得的结果一致。

相关问题

用c++编译用Lagrange插值多项式计算经过三个数据点的抛物线的程序

以下是使用C语言编写的Lagrange插值多项式计算经过三个数据点的抛物线的程序：

#include <stdio.h>

double lagrange(double x, double *xvals, double *yvals, int n) {
    double result = 0.0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double term = yvals[i];
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (i != j) {
                term *= (x - xvals[j]) / (xvals[i] - xvals[j]);
            }
        }
        result += term;
    }
    return result;
}

int main() {
    double xvals[3] = { 0.0, 1.0, 2.0 };
    double yvals[3] = { 0.0, 1.0, 4.0 };
    double a = lagrange(0.0, xvals, yvals, 3);
    double b = lagrange(1.0, xvals, yvals, 3);
    double c = lagrange(2.0, xvals, yvals, 3);
    printf("The coefficients of the quadratic polynomial are: a = %f, b = %f, c = %f\n", a, b, c);
    return 0;
}

在此代码中，我们首先定义了一个名为`lagrange`的函数，该函数接受以下参数：

- `x`：要计算的x值
- `xvals`：数据点的x值数组
- `yvals`：数据点的y值数组
- `n`：数据点的数量

该函数使用拉格朗日插值公式计算经过给定数据点的多项式在给定的x值处的值，并返回该值。然后，我们在`main`函数中定义了三个数据点（0,0），（1,1）和（2,4），并使用`lagrange`函数计算经过这些数据点的抛物线的三个系数a，b和c。最后，我们将这些系数打印到控制台上。

请注意，这只是一个简单的示例，可以轻松扩展以处理更多数据点和更高次的多项式。

用matlab编制用Lagrange插值多项式和多项式拟合最小二乘法的方法计算经过三个数据点(1,2)、(-1,1)、(2,3)的抛物线和拟合三个数据点(1,2)、(-1,1)、(2,3)的抛物线的程序

%%% Lagrange插值多项式 %%%
% 三个数据点
x = [1 -1 2];
y = [2 1 3];
% 计算Lagrange插值多项式
syms t;
L1 = ((t+1)*(t-2))/((1+1)*(1-2)); % 对应x1=1
L2 = ((t-1)*(t-2))/((-1-1)*(-1-2)); % 对应x2=-1
L3 = ((t-1)*(t+1))/((2-1)*(2+1)); % 对应x3=2
L = L1*y(1) + L2*y(2) + L3*y(3); % 计算插值多项式
% 绘制插值结果
fplot(L,[-2,3]); % 绘制插值函数
hold on;
scatter(x,y,'filled'); % 绘制数据点
title('Lagrange插值多项式');
legend('插值函数','数据点');

%%% 多项式拟合最小二乘法 %%%
% 三个数据点
x = [1 -1 2];
y = [2 1 3];
% 构造矩阵
A = [ones(size(x))' x' x'.^2'];
b = y';
% 最小二乘法求解
p = (A'*A)\(A'*b);
% 计算拟合多项式
syms t;
P = p(1) + p(2)*t + p(3)*t^2;
% 绘制拟合结果
fplot(P,[-2,3]); % 绘制拟合函数
hold on;
scatter(x,y,'filled'); % 绘制数据点
title('多项式拟合最小二乘法');
legend('拟合函数','数据点');