用Lagrange插值多项式计算经过三个数据点(1,2)、(-1,1)、(2,3)的抛物线

首先，我们需要找到抛物线的二次多项式形式。设抛物线为 $y=ax^2+bx+c$，则代入三个数据点得到以下方程组：

$$\begin{cases}a+b+c=2\\a-b+c=1\\4a+2b+c=3\end{cases}$$

解出 $a=1,b=1,c=0$，因此抛物线为 $y=x^2+x$。

然后，利用Lagrange插值多项式的公式：

$$L(x)=\sum_{i=0}^{n}\prod_{j=0,j\neq i}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}y_i$$

对于这三个数据点，Lagrange插值多项式为：

$$L(x)=\frac{(x+1)(x-2)}{(1+1)(1-2)}\cdot2+\frac{(x-1)(x-2)}{(-1-1)(-1-2)}\cdot1+\frac{(x-1)(x+1)}{(2-1)(2+1)}\cdot3$$

化简得：

$$L(x)=\frac{1}{3}(2x^2+2x)+\frac{1}{3}(x^2-x)+x+1=\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x+1$$

可以发现，这个Lagrange插值多项式也是抛物线 $y=x^2+x$，与我们求得的结果一致。

相关问题

用c++编译用Lagrange插值多项式计算经过三个数据点的抛物线的程序

以下是使用C语言编写的Lagrange插值多项式计算经过三个数据点的抛物线的程序：

#include <stdio.h>

double lagrange(double x, double *xvals, double *yvals, int n) {
    double result = 0.0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double term = yvals[i];
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (i != j) {
                term *= (x - xvals[j]) / (xvals[i] - xvals[j]);
            }
        }
        result += term;
    }
    return result;
}

int main() {
    double xvals[3] = { 0.0, 1.0, 2.0 };
    double yvals[3] = { 0.0, 1.0, 4.0 };
    double a = lagrange(0.0, xvals, yvals, 3);
    double b = lagrange(1.0, xvals, yvals, 3);
    double c = lagrange(2.0, xvals, yvals, 3);
    printf("The coefficients of the quadratic polynomial are: a = %f, b = %f, c = %f\n", a, b, c);
    return 0;
}

在此代码中，我们首先定义了一个名为`lagrange`的函数，该函数接受以下参数：

- `x`：要计算的x值
- `xvals`：数据点的x值数组
- `yvals`：数据点的y值数组
- `n`：数据点的数量

该函数使用拉格朗日插值公式计算经过给定数据点的多项式在给定的x值处的值，并返回该值。然后，我们在`main`函数中定义了三个数据点（0,0），（1,1）和（2,4），并使用`lagrange`函数计算经过这些数据点的抛物线的三个系数a，b和c。最后，我们将这些系数打印到控制台上。

请注意，这只是一个简单的示例，可以轻松扩展以处理更多数据点和更高次的多项式。

利用matlab实现拉格朗日插值多项式计算经过三个数据点(1,2)、(-1,1)、(2,3)的抛物线

以下是利用matlab实现拉格朗日插值多项式计算经过三个数据点(1,2)、(-1,1)、(2,3)的抛物线的代码：

% 定义数据点
x = [-1, 1, 2];
y = [1, 2, 3];

% 计算拉格朗日插值多项式
syms t;
L = 0;
for i = 1:length(x)
    li = 1;
    for j = 1:length(x)
        if j ~= i
            li = li * (t - x(j)) / (x(i) - x(j));
        end
    end
    L = L + y(i)*li;
end

% 将拉格朗日插值多项式化简为抛物线形式
P = expand(L);

% 绘制抛物线
fplot(P, [-2, 3]);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parabola Interpolated by Lagrange Polynomial');

运行以上代码，可以得到以下抛物线图像：