利用积分问题近似数值解编程绘制自由度为 n 的χ 2 (n)分布的概率密度函数 和分布函数。已知其概率密度函数 2 2 2 1 2 1 , 0 ( ) 2 ( ) 0, 0 x n n n e x x f x x  − − >  Γ =   ≤ 其中 Γ(x +1) = xΓ(x), Γ(1) =1, Γ(1/ 2) = π 整数n 由用户指定。

好的，我会根据您提供的问题进行回答。首先，我们需要了解什么是χ²分布以及其概率密度函数和分布函数。

χ²分布是指n个独立的标准正态分布的平方和服从的分布，记为χ²(n)。其概率密度函数为：

f(x) = (1/2^(n/2) * Γ(n/2)) * x^(n/2 - 1) * e^(-x/2)

其中Γ(x)为Gamma函数，即Γ(x) = (x-1)!，特别地，Γ(1/2) = √π。

χ²分布的分布函数F(x)可以通过概率密度函数f(x)积分得到，即：

F(x) = ∫[0, x] f(t) dt

为了编程绘制χ²分布的概率密度函数和分布函数，我们可以采用积分问题的近似数值解方法，例如Simpson积分法。

下面是利用Python编写的程序代码，用于计算并绘制自由度为n的χ²分布的概率密度函数和分布函数：

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def gamma(x):
    if x == 1:
        return 1
    elif x == 0.5:
        return math.sqrt(math.pi)
    else:
        return (x-1)*gamma(x-1)

def chisq_pdf(x, n):
    return math.exp(-x/2) * x**((n/2)-1) / (2**(n/2) * gamma(n/2))

def chisq_cdf(x, n):
    a, b, m = 0, x, 10000
    h = (b-a) / m
    s = 0.5 * (chisq_pdf(a, n) + chisq_pdf(b, n))
    for i in range(1, m):
        t = a + i*h
        s += chisq_pdf(t, n) * (2 + 2*(i%2))
    return s * h

n = int(input("请输入自由度n："))

x = np.linspace(0, 20, 1000)

pdf = [chisq_pdf(i, n) for i in x]
cdf = [chisq_cdf(i, n) for i in x]

plt.plot(x, pdf, label="pdf")
plt.plot(x, cdf, label="cdf")
plt.legend()
plt.show()

运行程序后，程序会要求您输入自由度n的值，然后会自动计算并绘制出χ²分布的概率密度函数和分布函数的图像。