:试以a=0.05的显著性水平检验两台仪器的精度问题。 让两台仪器从同一纸样各取5个测量值。试确定仪器2读数的精度是否比仪器1低。 似器1:29,28, 30, 28,30; ・似器2:26, 24,30, 32, 28。
时间: 2023-04-07 18:02:16 浏览: 49
根据题目描述,我们需要进行两台仪器的精度比较,可以采用假设检验的方法。假设仪器1的平均值为μ1,仪器2的平均值为μ2,零假设为μ1=μ2,备择假设为μ1<μ2。由于样本量较小,可以采用t检验。计算得到t值为-2.14,自由度为8,查t分布表得到在显著性水平为0.05时,t临界值为-1.86。因为计算得到的t值小于t临界值,所以我们可以拒绝零假设,即认为仪器2的精度比仪器1低。
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试以a=0.05的显著性水平检验两台仪器的精度问题。 让两台仪器从同一纸样各取5个测量值。试确定仪器2读数的精度是否比仪器1低。 仪器1:29,28, 30, 28,30; ・仪器2:26, 24,30, 32, 28。
### 回答1:
根据题目要求,我们需要进行两台仪器的精度检验。首先,我们需要计算两台仪器的平均值和标准差,然后使用t检验来比较两台仪器的精度。
仪器1的平均值为29,标准差为1.19;仪器2的平均值为28,标准差为2.83。根据t检验的公式,计算得到t值为1.06,自由度为8,p值为0.32。
由于p值大于显著性水平0.05,因此我们不能拒绝零假设,即不能确定仪器2的精度是否比仪器1低。
### 回答2:
首先,我们可以计算出仪器1的平均测量值和标准差。仪器1的平均值为(29+28+30+28+30)/5=29。标准差可以通过以下公式计算:
标准差 = √(((29-29)^2 + (28-29)^2 + (30-29)^2 + (28-29)^2 + (30-29)^2)/4) = √(2^2 + (-1)^2 + 1^2 + (-1)^2 + 1^2)/4 = √(6)/4 = √(3)/2 ≈ 0.866。
接下来,计算仪器2的平均测量值和标准差。仪器2的平均值为(26+24+30+32+28)/5=28。标准差可以通过以下公式计算:
标准差 = √(((26-28)^2 + (24-28)^2 + (30-28)^2 + (32-28)^2 + (28-28)^2)/4) = √((-2)^2 + (-4)^2 + 2^2 + 4^2)/4 = √(44)/4 ≈ 1.57。
接下来,我们需要计算到达显著性水平所需的临界值。在这种情况下,我们选择的是双尾检验,所以将显著性水平分成两半,每一半都为0.025。根据自由度(n-1)和显著性水平(0.025),可以从t分布表中找到临界值。由于样本数为5,自由度为4,临界值为2.776。这个值是用来决定我们是否接受或拒绝原假设。
最后,我们将仪器2的平均值和标准差与仪器1进行比较。由于我们有两个平均值和两个标准差,我们可以使用t检验来比较差异。计算t值的公式如下:
t值 = (平均值1 - 平均值2) / √(标准差1^2/样本数1 + 标准差2^2/样本数2) = (29-28) / √((0.866^2/5) + (1.57^2/5)) ≈ 0.1153 / √(0.3113 + 0.4922) ≈ 0.1153 / √(0.8035) ≈ 0.1153 / 0.8966 ≈ 0.1286。
根据自由度为4和显著性水平0.025的t分布表,我们可以找到临界值为2.776。由于计算得到的t值(0.1286)小于临界值(2.776),我们接受原假设,即仪器2的读数精度不比仪器1低。因此,我们不能得出仪器2的读数精度比仪器1低的结论。
### 回答3:
为了检验两台仪器的精度问题,我们可以使用配对样本t检验。在这种情况下,我们的假设如下:
- 零假设(H0):仪器1和仪器2的读数精度相同。
- 备择假设(H1):仪器2的读数精度低于仪器1。
首先,计算每台仪器的平均值和标准差。对于仪器1,平均值为29,标准差为1.58。对于仪器2,平均值为28,标准差为2.94。
然后,计算差异值的平均值和标准差。差异值是仪器1和仪器2对应测量值之间的差异。在这种情况下,差异值为1,-4,0,4,-2。差异值的平均值为-0.2,标准差为3.08。
使用配对样本t检验公式计算t值。在α=0.05的显著性水平下,自由度为4(n-1),t临界值为±2.776。计算得到t值为-0.065。
根据t值和t临界值的比较,我们可以得出结论:在α=0.05的显著性水平下,由于t值为-0.065未超过t临界值±2.776,因此我们无法拒绝零假设。换句话说,我们没有足够的证据来支持仪器2的读数精度低于仪器1。
综上所述,根据使用配对样本t检验得出的统计结果,在显著性水平为0.05下,不能确定仪器2的读数精度是否比仪器1低。
对均匀分布(a,a+1),提出假设H0:a=0 H1: a=1/2 ,求显著性水平为0.05的最大功效检验
假设H0和H1的概率密度函数分别为f0(x)和f1(x),则:
f0(x) = 1,a <= x <= a+1
f1(x) = 1,a+1/2 <= x <= a+3/2
在H0假设下,a=0,所以:
f0(x) = 1,0 <= x <= 1
f1(x) = 1,1/2 <= x <= 3/2
在H1假设下,a=1/2,所以:
f0(x) = 1,1/2 <= x <= 3/2
f1(x) = 1,1 <= x <= 2
根据最大功效准则,我们要找到一个检验,使得在H1假设下,拒绝H0假设的概率最大。因为H0和H1都是简单假设,所以我们可以使用Neyman-Pearson引理来得到最大功效检验。
首先,我们需要确定一个拒绝域R,它是一个区间,如果样本均值落在该区间内,则拒绝H0假设,否则接受H0假设。由于我们要求显著性水平为0.05的最大功效检验,所以我们需要满足以下两个条件:
1. 确定拒绝域R的概率为0.05,即P(a<=x_bar<=a+1|R) = 0.05
2. 在H1假设下,拒绝域R的概率最大
根据Neyman-Pearson引理,我们可以得到:
P(a<=x_bar<=a+1|R) / P(a<=x_bar<=a+1|H0) = L(R) / k
其中,L(R)是似然比函数,k是一个常数。因为H0和H1的概率密度函数都是均匀分布,所以似然比函数为:
L(R) = f1(x1)f1(x2)...f1(xn) / f0(x1)f0(x2)...f0(xn)
其中,x1, x2, ..., xn是n个独立的样本。
将H0和H1的概率密度函数带入似然比函数,可以得到:
L(R) = (a+1/2)^(n*I(R>=1/2)) * (a+3/2)^(n*I(R<1/2)) / a^n
其中,I(R>=1/2)是指示函数,当R>=1/2时为1,否则为0。I(R<1/2)是指示函数,当R<1/2时为1,否则为0。
我们可以将L(R)写成以下形式:
L(R) = (a+1/2)^(n*x) * (a+3/2)^(n*(1-x)) / a^n
其中,x是一个介于0和1之间的数,表示拒绝域R在区间[1/2, 3/2]中的长度占总长度的比例。
要使得在H1假设下,拒绝域R的概率最大,我们需要最大化似然比函数L(R)。因此,我们可以对L(R)求导,得到:
dL(R)/dx = n*(a+1/2)^(n*x)*(a+3/2)^(n*(1-x))*[ln(a+1/2)-ln(a+3/2)] / a^n * [ln(a+3/2)-ln(a+1/2)] = 0
化简得到:
x = ln(2a+3) / [n*(ln(2a+3)-ln(2a+1))]
将a=0和a=1/2带入上式,可以得到:
当a=0时,x=1/2
当a=1/2时,x=1
因此,当a=0时,拒绝域R为[1/2, 3/2],当a=1/2时,拒绝域R为[0, 1/2]和[3/2, 2]。
我们可以计算拒绝H0假设的概率:
在H0假设下,a=0,拒绝域R为[1/2, 3/2],所以:
P(R|H0) = P(1/2<=x_bar<=3/2|a=0) = 0.5
在H1假设下,a=1/2,拒绝域R为[0, 1/2]和[3/2, 2],所以:
P(R|H1) = P(0<=x_bar<=1/2|a=1/2) + P(3/2<=x_bar<=2|a=1/2) = 0.375
因此,功效为:
power = P(R|H1) = 0.375
综上所述,显著性水平为0.05的最大功效检验是:
当样本均值落在区间[1/2, 3/2]时,拒绝H0假设,否则接受H0假设。在这种情况下,检验的功效为0.375。