根据京东、亚马逊、天猫等平台的商业实践，考虑由一个制造商和一个平台以及一群消费者构成的供应链，其中消费者分为两类：一类是x比例的消费者参与合作设计（这类消费者付出努力），而另一类是(1-x)比例的消费者不参与产品合作设计（这类消费者不付出努力），模型中只有参与产品合作设计的消费者和制造商付出努力。请构建一个涉及平台、消费者和制造商三方共同参与产品合作设计的博弈模型？要求数学模型中需包括制造商和参与产品设计的消费者的努力程度，给出具体的两类消费者的效用函数，制造商和和平台的利润函数，决策变量为制造商和消费者的努力程度、产品价格。基于上述问题，请分别给出零售模式和代售模式模式下关于上述情形的具体数学模型（包括需求函数，例如函数，两类消费者效用），计算制造商和平台的利润、两类消费者的剩余，并分析平台的最优模式选择（阈值）。

首先，我们需要定义一些符号：

- $e_1$：制造商的努力程度
- $e_2$：参与产品合作设计的消费者的努力程度
- $p$：产品价格
- $q$：产品销量
- $D(p)$：整体市场需求函数
- $D_1(p)$：参与产品合作设计的消费者的需求函数
- $D_2(p)$：不参与产品合作设计的消费者的需求函数
- $u_{1}(e_1,e_2,p)$：参与产品合作设计的消费者的效用函数
- $u_{2}(p)$：不参与产品合作设计的消费者的效用函数
- $c(e_1)$：制造商的生产成本函数
- $r_1(e_1,e_2,p)$：制造商的利润函数
- $r_2(p)$：平台的利润函数
- $x$：参与产品合作设计的消费者占比

在零售模式下，制造商直接将产品供应给平台，平台以一定的价格将产品售卖给消费者。在代售模式下，制造商通过平台向消费者销售产品，平台承担库存风险。

零售模式下的需求函数为：

$$
D(p)=D_1(p)+D_2(p)=aq-bp+xcp-dp^2
$$

其中，$a$、$b$、$c$、$d$均为正常数，且有$a>c$。

参与产品合作设计的消费者的需求函数为：

$$
D_1(p)=xcp-dp^2
$$

不参与产品合作设计的消费者的需求函数为：

$$
D_2(p)=aq-bp-xcp
$$

参与产品合作设计的消费者的效用函数为：

$$
u_{1}(e_1,e_2,p)=\alpha_1 e_1+\alpha_2 e_2-\beta_1p
$$

其中，$\alpha_1$、$\alpha_2$、$\beta_1$均为正常数。

不参与产品合作设计的消费者的效用函数为：

$$
u_{2}(p)=-\beta_2p
$$

其中，$\beta_2$为正常数。

制造商的生产成本函数为：

$$
c(e_1)=g_1e_1^2
$$

其中，$g_1$为正常数。

制造商的利润函数为：

$$
r_1(e_1,e_2,p)=p(q(e_1,e_2,p))-c(e_1)
$$

其中，

$$
q(e_1,e_2,p)=\begin{cases}
D_1(p), & e_2>0 \\
D(p), & e_2=0
\end{cases}
$$

平台的利润函数为：

$$
r_2(p)=qp-c(e_1)
$$

在这个模型中，制造商和参与产品合作设计的消费者会付出努力，不参与产品合作设计的消费者不会付出努力。因此，两类消费者的效用函数可以用付出努力的程度来表示。制造商和平台的利润函数都会受到产品价格和销量的影响。

我们可以通过求解博弈模型的最优解来计算制造商和平台的利润、两类消费者的剩余，并分析平台的最优模式选择。

具体来说，在零售模式下，制造商和平台的最优决策变量分别为$e_1^*,p^*$，参与产品合作设计的消费者的最优决策变量为$e_2^*$。在代售模式下，制造商和消费者的最优决策变量分别为$e_1^*,e_2^*,p^*$。

值得注意的是，在代售模式中，平台可以利用库存来平衡供求关系，因此其利润函数中不再包含销量$q$。在这种情况下，平台的最优决策变量为$p^*$。

为了求解这个模型，我们需要使用博弈论中的均衡概念。在本文中，我们将使用Nash均衡来求解博弈模型的最优解。