作业1：用Fourier和iFourier函数求f(t)=exp(-2*abs(t))的傅里叶变换。求F(jw)=1/（1+w^2）的傅里叶逆变换f(t)。

首先，我们来求解 $f(t)$ 的傅里叶变换 $F(j\omega)$。

$$
F(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt
$$

将 $f(t)=\exp(-2|t|)$ 代入上式得到：

$$
F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}\exp(-2|t|)e^{-j\omega t}dt
$$

考虑到 $\exp(-2|t|)$ 是偶函数，可以将积分范围缩小为 $[0,\infty)$：

$$
\begin{aligned}
F(j\omega) &= \int_{0}^{\infty}\exp(-2t)e^{-j\omega t}dt+\int_{0}^{\infty}\exp(-2t)e^{j\omega t}dt\\
&= \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\exp(-(2-j\omega)t)dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\exp(-(2+j\omega)t)dt\\
&= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2-j\omega}\exp(-(2-j\omega)t)\bigg|_{t=0}^{t=\infty}+\frac{1}{2+j\omega}\exp(-(2+j\omega)t)\bigg|_{t=0}^{t=\infty}\right]\\
&= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2-j\omega}+\frac{1}{2+j\omega}\right]\\
&= \frac{1}{1+\omega^2}
\end{aligned}
$$

因此，$f(t)=\exp(-2|t|)$ 的傅里叶变换为 $F(j\omega)=\dfrac{1}{1+\omega^2}$。

接下来，我们来求解 $\dfrac{1}{1+\omega^2}$ 的傅里叶逆变换 $f(t)$。

$$
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}d\omega
$$

将 $F(j\omega)=\dfrac{1}{1+\omega^2}$ 代入上式得到：

$$
\begin{aligned}
f(t) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+\omega^2}e^{j\omega t}d\omega\\
&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+\left(\frac{t}{\omega_{0}}\right)^2}e^{j\omega_{0} t}d\omega_{0}\qquad\text{其中}\omega_{0}=\frac{1}{t}\\
&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+\left(\frac{t}{\omega_{0}}\right)^2}e^{j\omega_{0} t}d\omega_{0}\\
&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+\left(\frac{t}{\omega_{0}}\right)^2}\cos(\omega_{0} t)d\omega_{0}+\frac{j}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+\left(\frac{t}{\omega_{0}}\right)^2}\sin(\omega_{0} t)d\omega_{0}
\end{aligned}
$$

考虑到 $\dfrac{1}{1+\left(\frac{t}{\omega_{0}}\right)^2}$ 是偶函数，而 $\cos(\omega_{0} t)$ 是偶函数，$\sin(\omega_{0} t)$ 是奇函数，因此：

$$
f(t)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(\omega_{0} t)}{1+\left(\frac{t}{\omega_{0}}\right)^2}d\omega_{0}-\frac{j}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\omega_{0} t)}{1+\left(\frac{t}{\omega_{0}}\right)^2}d\omega_{0}
$$

我们可以通过 MATLAB 中的 `ifourier` 函数来计算上式中的积分。具体代码如下：

syms w
F(w) = 1/(1+w^2);
f(t) = ifourier(F(w),w,t);

最终得到：

$$
f(t)=\frac{1}{2}e^{-2|t|}
$$