设函数 利用卷积定理计算卷积f1(t)*f2(t); (1)(10分)给出计算及分析过程 (2)(15分)编程实现
时间: 2024-01-21 08:02:46 浏览: 27
设函数 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$ 的卷积为 $g(t)$,则有:
$$g(t) = f_1(t) * f_2(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau) d\tau$$
根据卷积定理,$g(t)$ 的傅里叶变换为 $G(\omega)$,$f_1(t)$ 和 $f_2(t)$ 的傅里叶变换分别为 $F_1(\omega)$ 和 $F_2(\omega)$,则有:
$$G(\omega) = F_1(\omega)F_2(\omega)$$
因此,我们可以按照以下步骤计算卷积 $g(t)$:
1. 对 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$ 进行傅里叶变换,得到 $F_1(\omega)$ 和 $F_2(\omega)$。
2. 计算 $G(\omega) = F_1(\omega)F_2(\omega)$。
3. 对 $G(\omega)$ 进行反傅里叶变换,得到 $g(t)$。
下面是 MATLAB 的代码实现:
```matlab
syms t w;
f1 = exp(-t)*heaviside(t);
f2 = heaviside(t) - heaviside(t-1);
F1 = fourier(f1, t, w);
F2 = fourier(f2, t, w);
G = F1 * F2;
g = simplify(ifourier(G, w, t));
```
其中,`syms t w` 定义符号变量 `t` 和 `w`,`f1` 和 `f2` 分别表示 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$,使用 `heaviside` 函数表示单位阶跃函数。`F1` 和 `F2` 分别表示 $F_1(\omega)$ 和 $F_2(\omega)$,使用 `fourier` 函数进行傅里叶变换。`G` 表示 $G(\omega)$,使用符号变量的乘法进行计算。`g` 表示 $g(t)$,使用 `simplify` 函数对表达式进行简化,使用 `ifourier` 函数进行反傅里叶变换。
如果需要绘制卷积 $g(t)$ 的图像,可以使用 `fplot` 函数,代码如下:
```matlab
fplot(g, [-1, 3]);
xlabel('t');
ylabel('g(t)');
title('卷积');
```
其中,`fplot` 函数表示绘制函数图像,第一个参数为函数表达式,第二个参数为绘图范围。运行代码,即可得到卷积 $g(t)$ 的图像。
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