求下列函数的卷积,f1(t)=ε(t)-ε(t-1),f2(t)=2t*(ε(t)-ε(t-1))
时间: 2023-10-21 17:04:30 浏览: 47
首先写出两个函数的表达式:
$$
f_1(t)=\varepsilon(t)-\varepsilon(t-1)
$$
$$
f_2(t)=2t(\varepsilon(t)-\varepsilon(t-1))
$$
其中,$\varepsilon(t)$ 表示单位阶跃函数。为了方便计算卷积,我们可以将 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$ 分别表示为两个分段函数的形式:
$$
f_1(t)=\begin{cases}
1, & t\geq 0 \\
-1, & 0>t\geq -1 \\
0, & t<-1
\end{cases}
$$
$$
f_2(t)=\begin{cases}
0, & t<0 \\
t, & 0\leq t<1 \\
2t-2, & 1\leq t<2 \\
0, & t\geq 2
\end{cases}
$$
然后,我们可以使用定义计算卷积:
$$
(f_1*f_2)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau
$$
对于 $t<0$ 和 $t\geq 2$,$(f_1*f_2)(t)$ 的值都为 $0$,因为此时 $f_2(t-\tau)$ 的定义域与 $f_1(\tau)$ 的支撑不重叠。对于 $0\leq t<1$,有:
$$
\begin{aligned}
(f_1*f_2)(t)&=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau \\
&=\int_{0}^{t} f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau \\
&=\int_{0}^{t} 1\cdot\tau d\tau \\
&=\frac{t^2}{2}
\end{aligned}
$$
对于 $1\leq t<2$,有:
$$
\begin{aligned}
(f_1*f_2)(t)&=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau \\
&=\int_{t-1}^{t} f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau \\
&=\int_{t-1}^{t} (-1)\cdot\tau d\tau \\
&=-\frac{(t-1)^2}{2}
\end{aligned}
$$
因此,最终的卷积结果为:
$$
(f_1*f_2)(t)=\begin{cases}
\frac{t^2}{2}, & 0\leq t<1 \\
-\frac{(t-1)^2}{2}, & 1\leq t<2 \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$