数学方法论中场论的例题
时间: 2024-03-15 21:42:37 浏览: 440
下面是场论的一个例题:
考虑一个二维平面上的场,其势函数为 $u(x,y)=\ln\sqrt{x^2+y^2}$,求该场的梯度和散度。
解:首先计算梯度,即 $\nabla u=\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}\right)$。由于 $u$ 是一个二元函数,所以有
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x}{x^2+y^2},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{y}{x^2+y^2}.
$$
因此,场的梯度为 $\nabla u=\left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right)$。
接下来计算散度,即 $\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}$,其中 $\mathbf{F}$ 是场的向量值函数。由于场的梯度是一个向量,因此 $\mathbf{F}=\nabla u$。于是有
$$
\begin{aligned}
\operatorname{div}\mathbf{F}&=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)\\
&=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\\
&=0.
\end{aligned}
$$
因此,该场的散度是 $0$。
综上所述,该场的梯度为 $\nabla u=\left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right)$,散度为 $0$。