给出考虑剪切变形空间梁的势能泛函和梁单元位移插值函数,并通过泛函变分原理推导得到梁单元的刚度方程
时间: 2024-06-02 21:11:23 浏览: 13
考虑一个梁在剪切变形下的势能泛函可以表示为:
$$
\Pi=\int_{0}^{L}\left[\frac{EI}{2}\left(\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}\right)^{2}+GJ\left(\frac{\partial^{2}w}{\partial x \partial y}\right)^{2}\right]dx
$$
其中,$w(x,y)$为梁的挠曲位移,$E$为弹性模量,$I$为截面惯性矩,$G$为剪切模量,$J$为极惯性矩,$L$为梁的长度。
假设梁单元的位移场为:
$$
w(x,y)=\sum_{i=1}^{n}N_{i}(x,y)w_{i}
$$
其中,$N_{i}(x,y)$为插值函数,$w_{i}$为节点处的挠曲位移值。将上式代入势能泛函中,得到:
$$
\Pi=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}w_{i}w_{j}K_{ij}
$$
其中,$K_{ij}$为刚度矩阵的元素,可以表示为:
$$
K_{ij}=\int_{0}^{L}\left[\frac{EI}{2}\left(\frac{\partial^{2}N_{i}}{\partial x^{2}}\frac{\partial^{2}N_{j}}{\partial x^{2}}\right)+GJ\left(\frac{\partial^{2}N_{i}}{\partial x \partial y}\frac{\partial^{2}N_{j}}{\partial x \partial y}\right)\right]dx
$$
使用泛函变分原理,令$\delta \Pi=0$,得到梁单元的刚度方程为:
$$
[K]\{w\}=\{f\}
$$
其中,$[K]$为刚度矩阵,$\{w\}$为节点处的挠曲位移向量,$\{f\}$为节点处的载荷向量。
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