已知两个坐标系，怎么求旋转矩阵

要求求解两个坐标系的旋转矩阵，需要知道两个坐标系之间的旋转关系。可以使用矩阵乘法来将一个坐标系的点转换为另一个坐标系中的点。假设A和B是两个坐标系，分别对应两个旋转矩阵R(A)和R(B)，我们可以通过以下公式求得A到B的旋转矩阵R：

R = R(B)^T * R(A)

其中， ^T 代表矩阵的转置。这个公式的意义是，首先将点从A坐标系下通过R(A)旋转到全局坐标系下，然后再通过R(B)反向旋转到B坐标系下。从而得到A到B的旋转矩阵R。

当然，如果您需要更具体的实现细节，可以提供更多信息以便我更好地回答您的问题。

相关问题

用c++编写程序：已知两条不同坐标系的轨迹，求这两条坐标系的旋转矩阵，缩放比例，并放在同一坐标系显示

这个问题需要解决以下几个步骤：

1. 读取两条轨迹的数据，可以用文件或输入流来读取。
2. 对于每条轨迹，计算出其质心和协方差矩阵，然后通过特征值分解求出其主轴方向。
3. 通过两条轨迹的主轴方向，计算它们之间的旋转矩阵。
4. 计算两条轨迹的缩放比例，可以用两条轨迹的主轴长度比来计算。
5. 将两条轨迹按照旋转矩阵和缩放比例进行变换，然后在同一坐标系中显示。

下面是一个简单的C++程序示例：

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <vector>
#include <Eigen/Dense>

using namespace std;
using namespace Eigen;

// 读取轨迹数据
void readTrajectory(const char* filename, vector<Vector2d>& traj) {
    ifstream fin(filename);
    double x, y;
    while (fin >> x >> y) {
        traj.push_back(Vector2d(x, y));
    }
}

// 计算轨迹的质心和协方差矩阵
void computeCovariance(const vector<Vector2d>& traj, Vector2d& center, Matrix2d& cov) {
    center.setZero();
    for (const auto& p : traj) {
        center += p;
    }
    center /= traj.size();

    cov.setZero();
    for (const auto& p : traj) {
        Vector2d d = p - center;
        cov += d * d.transpose();
    }
    cov /= traj.size();
}

// 计算特征值分解，返回主轴方向
Vector2d computePCA(const Matrix2d& cov) {
    EigenSolver<Matrix2d> es(cov);
    Vector2d eigvals = es.eigenvalues().real();
    Matrix2d eigvecs = es.eigenvectors().real();
    if (eigvals(0) > eigvals(1)) {
        return eigvecs.col(0);
    }
    else {
        return eigvecs.col(1);
    }
}

// 计算旋转矩阵和缩放比例
void computeTransform(const vector<Vector2d>& traj1, const vector<Vector2d>& traj2, Matrix2d& R, double& s) {
    Vector2d c1, c2;
    Matrix2d cov1, cov2;
    computeCovariance(traj1, c1, cov1);
    computeCovariance(traj2, c2, cov2);

    Vector2d pca1 = computePCA(cov1);
    Vector2d pca2 = computePCA(cov2);

    R = pca2 * pca1.transpose();
    s = pca2.norm() / pca1.norm();
}

// 变换轨迹
void transformTrajectory(const vector<Vector2d>& traj, const Matrix2d& R, double s, vector<Vector2d>& transformed) {
    transformed.clear();
    transformed.reserve(traj.size());
    for (const auto& p : traj) {
        transformed.push_back(s * R * p);
    }
}

int main() {
    vector<Vector2d> traj1, traj2;
    readTrajectory("trajectory1.txt", traj1);
    readTrajectory("trajectory2.txt", traj2);

    Matrix2d R;
    double s;
    computeTransform(traj1, traj2, R, s);

    vector<Vector2d> transformed1, transformed2;
    transformTrajectory(traj1, R, s, transformed1);
    transformTrajectory(traj2, Matrix2d::Identity(), 1.0 / s * R.transpose(), transformed2);

    // 在同一坐标系中显示轨迹
    // ...
    
    return 0;
}

这个程序用到了Eigen库来进行矩阵计算。注意，这个程序假设两条轨迹已经对齐了，如果需要进行刚性配准的话，还需要计算平移向量，并将其加到变换后的轨迹上。

用c++编写程序：已知两条不同坐标系的轨迹，求这两条坐标系的旋转矩阵，平移向量，缩放比例，并把第二条轨迹转换到第一条轨迹的坐标系

这是一个比较复杂的问题，需要用到一些数学知识和算法。下面是一个简单的示例程序，可以计算出两个坐标系之间的旋转矩阵、平移向量和缩放比例，并将第二条轨迹转换到第一条轨迹的坐标系中。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <Eigen/Dense>

using namespace Eigen;

int main()
{
    // 定义两条轨迹的坐标点
    std::vector<Vector3d> trajectory1 = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};
    std::vector<Vector3d> trajectory2 = {{2, 3, 4}, {5, 6, 7}, {8, 9, 10}};

    // 计算每条轨迹的质心
    Vector3d centroid1 = Vector3d::Zero();
    Vector3d centroid2 = Vector3d::Zero();
    for (auto& p : trajectory1)
        centroid1 += p;
    centroid1 /= trajectory1.size();
    for (auto& p : trajectory2)
        centroid2 += p;
    centroid2 /= trajectory2.size();

    // 计算每条轨迹的协方差矩阵
    Matrix3d cov1 = Matrix3d::Zero();
    Matrix3d cov2 = Matrix3d::Zero();
    for (auto& p : trajectory1)
        cov1 += (p - centroid1) * (p - centroid1).transpose();
    cov1 /= trajectory1.size();
    for (auto& p : trajectory2)
        cov2 += (p - centroid2) * (p - centroid2).transpose();
    cov2 /= trajectory2.size();

    // 计算旋转矩阵和缩放比例
    JacobiSVD<Matrix3d> svd(cov1.inverse() * cov2, ComputeFullU | ComputeFullV);
    Matrix3d R = svd.matrixV() * svd.matrixU().transpose();
    double scale = (cov1.inverse() * cov2).trace() / 3.0;

    // 计算平移向量
    Vector3d t = centroid1 - scale * R * centroid2;

    // 输出结果
    std::cout << "Rotation matrix:\n" << R << std::endl;
    std::cout << "Scale factor: " << scale << std::endl;
    std::cout << "Translation vector:\n" << t << std::endl;

    // 将第二条轨迹转换到第一条轨迹的坐标系中
    for (auto& p : trajectory2)
        p = scale * R * p + t;

    return 0;
}

需要注意的是，这个程序假设两条轨迹的点数相同，并且点的顺序相同。如果实际情况不符合这些假设，就需要进行额外的处理。另外，这个程序还假设两个坐标系之间只存在旋转、平移和缩放，如果存在其他变换，例如错切变换，就需要使用更复杂的算法。