使用c语言利用快速幂进行矩阵乘法运算

矩阵乘法可以使用快速幂算法优化，快速幂矩阵乘法可以在 $O(\log n)$ 的时间复杂度内计算矩阵的幂。下面是快速幂矩阵乘法的 C 语言代码实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

#define N 2 // 矩阵维度

// 定义矩阵结构体
struct Matrix {
    int a[N][N];
};

// 初始化矩阵
void initMatrix(struct Matrix *m, int a11, int a12, int a21, int a22) {
    m->a[0][0] = a11;
    m->a[0][1] = a12;
    m->a[1][0] = a21;
    m->a[1][1] = a22;
}

// 矩阵乘法
struct Matrix matrixMultiply(struct Matrix m1, struct Matrix m2) {
    struct Matrix res;
    memset(&res, 0, sizeof(res));
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            for (int k = 0; k < N; k++) {
                res.a[i][j] += m1.a[i][k] * m2.a[k][j];
            }
        }
    }
    return res;
}

// 快速幂矩阵乘法
struct Matrix matrixQuickPow(struct Matrix m, int n) {
    struct Matrix res;
    memset(&res, 0, sizeof(res));
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        res.a[i][i] = 1; // 初始化为单位矩阵
    }
    while (n > 0) {
        if (n & 1) {
            res = matrixMultiply(res, m);
        }
        m = matrixMultiply(m, m);
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    struct Matrix m;
    initMatrix(&m, 1, 1, 1, 0); // 斐波那契数列的转移矩阵
    int n;
    scanf("%d", &n);
    struct Matrix res = matrixQuickPow(m, n);
    printf("斐波那契数列的第 %d 项为：%d\n", n, res.a[1][0]);
    return 0;
}

在这个示例代码中，我们定义了一个矩阵结构体，包含矩阵的维度和元素，同时定义了初始化矩阵、矩阵乘法和快速幂矩阵乘法三个函数。在主函数中，我们输入矩阵的转移次数 $n$，然后使用快速幂矩阵乘法计算斐波那契数列的第 $n$ 项。