线性调频信号的傅里叶变换

线性调频信号(LFM)的数学表达式为$s(t)=A\exp(j\pi k t^2)$，其中$k$为调频率。我们可以将其写成实数形式：

$$s(t)=A\cos(2\pi f_0t + \pi k t^2)$$

其中，$f_0$为初始频率。线性调频信号的傅里叶变换可以通过求解其傅里叶积分得到：

$$S(f)=\int_{-\infty}^\infty s(t)e^{-j2\pi ft}dt$$

通过变量代换$t' = t - \frac{1}{2}\frac{k}{f_0}t^2$，可以将$L(t)=\exp(j\pi k t^2)$转化为$e^{j2\pi f_0 t'}$，进而将$s(t)$表示为$L(t)$和$\cos(2\pi f_0t)$的乘积形式：

$$s(t) = A\cos(2\pi f_0 t + 2\pi k t^2) = \frac{A}{2}\left(e^{j2\pi f_0 t'}+e^{-j2\pi f_0 t'}\right)\cos(2\pi f_0t) $$

对上式进行傅里叶积分，可以得到线性调频信号的频域表达式：

$$S(f) = \frac{A}{2}\int_{-\infty}^\infty e^{j2\pi f_0 t'}\cos(2\pi f_0t)e^{-j2\pi ft}dt$$

对上式进行变量代换$t'' = t - \frac{1}{2}\frac{f}{k}t^2$，可以得到：

$$S(f) = \frac{A}{4\sqrt{\pi jk}}\left[e^{-j\pi(f-f_0)^2/k}+e^{-j\pi(f+f_0)^2/k}\right]$$

这就是线性调频信号的傅里叶变换表达式。