对f(x)=log10(||x-c||)在x=a处进行一阶泰勒展开
时间: 2023-11-23 20:54:35 浏览: 32
根据泰勒公式,对于函数$f(x)$在$x=a$处的一阶泰勒展开式为:$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a)$$
其中,$f'(a)$表示$f(x)$在$x=a$处的一阶导数,$o(x-a)$表示当$x$趋近于$a$时,$o(x-a)$的阶数高于$(x-a)$。
对于$f(x)=log_{10}(\|x-c\|)$,我们需要先求出$f(x)$在$x=a$处的一阶导数$f'(a)$,然后代入泰勒公式即可。
首先,根据链式法则,有:
$$f'(x)=\frac{1}{\ln10}\cdot\frac{1}{\|x-c\|}\cdot\frac{x-c}{\|x-c\|}$$
将$x=a$代入上式,得到:
$$f'(a)=\frac{1}{\ln10}\cdot\frac{1}{\|a-c\|}\cdot\frac{a-c}{\|a-c\|}$$
将$f(a)$和$f'(a)$代入泰勒公式,得到:
$$f(x)=log_{10}(\|a-c\|)+\frac{1}{\ln10}\cdot\frac{1}{\|a-c\|}\cdot\frac{a-c}{\|a-c\|}\cdot(x-a)+o(x-a)$$
化简可得:
$$f(x)=log_{10}(\|a-c\|)+\frac{1}{\ln10}\cdot\frac{a-c}{\|a-c\|}\cdot\frac{x-a}{\|a-c\|}+o(x-a)$$
因此,对$f(x)=log10(||x-c||)$在$x=a$处进行一阶泰勒展开式为:$$f(x)=log_{10}(\|a-c\|)+\frac{1}{\ln10}\cdot\frac{a-c}{\|a-c\|}\cdot\frac{x-a}{\|a-c\|}+o(x-a)$$
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