用户输入正整数字n和m,找出有多少种n个非负整数累加和为v的组合
时间: 2024-02-05 12:11:49 浏览: 35
这是一个经典的组合问题,可以使用动态规划来解决。
我们定义 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个非负整数累加和为 $j$ 的组合数,状态转移方程如下:
$$
dp[i][j] = \sum_{k=0}^{j}\ dp[i-1][j-k]
$$
其中 $k$ 表示第 $i$ 个非负整数的取值,范围是 $0$ 到 $j$。因为每个非负整数都可以取 $0$,所以 $k$ 的范围是 $0$ 到 $j$。
初始状态为 $dp[0][0]=1$,表示累加和为 $0$ 的组合只有一种,即不选任何数。
最终的答案就是 $dp[n][m]$,表示前 $n$ 个非负整数累加和为 $m$ 的组合数。
下面是 Python 代码实现:
```python
def combination_count(n, m):
dp = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]
dp[0][0] = 1
for i in range(1, n+1):
for j in range(m+1):
for k in range(j+1):
dp[i][j] += dp[i-1][j-k]
return dp[n][m]
```
这样就可以计算出有多少种 $n$ 个非负整数累加和为 $m$ 的组合了。
相关问题
给定数字n和v, 请找出有多少种n个非负变量累加和为v的组合
这是一个经典的组合数学问题,解法可以使用动态规划或者组合数学的方法。
使用动态规划,可以定义一个二维数组dp[i][j],其中dp[i][j]表示前i个数之和等于j的组合数。那么dp[i][j]可以由两种情况得到:
1. 不使用第i个数,那么dp[i][j]就等于前i-1个数之和等于j的组合数,即dp[i-1][j]。
2. 使用第i个数,那么dp[i][j]就等于前i-1个数之和等于j-i的组合数,即dp[i-1][j-i]。
那么状态转移方程就是dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-i]。
最终答案就是dp[n][v]。
时间复杂度为O(nv),空间复杂度为O(nv)。
下面是使用组合数学的方法,假设有n个非负整数可以用来进行累加,那么可以将问题转化为将v个球分配给n个盒子,每个盒子可以为空。问题就变成了求解有多少种分配方法。
这个问题可以使用组合数学里的“星型和棒子”问题来解决。具体来说,可以将v个球放在一条水平的直线上,然后在其中n-1个球之间插入n-1根竖直的棒子,这样就将v个球分成了n份,每份对应一个非负整数。可以证明,不同的放置方法数目就等于从v+n-1个球中选择n-1个球进行放置的方案数,即C(v+n-1,n-1)。
时间复杂度为O(1),不需要额外的空间。
在python中,用户输入正整数n和v,请找出有多少种n个非负整数累加和为v的组合?用代码写出。
这是一个典型的动态规划问题,可以使用动态规划算法来解决。
定义一个二维数组dp[i][j],其中dp[i][j]表示前i个非负整数的和为j的组合数。
则动态转移方程为:
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-i]
其中dp[i-1][j]表示不选第i个数的情况,dp[i][j-i]表示选第i个数的情况。
最终答案为dp[n][v]。
以下是代码实现:
```python
n = int(input("请输入正整数n: "))
v = int(input("请输入正整数v: "))
dp = [[0] * (v+1) for _ in range(n+1)]
dp[0][0] = 1
for i in range(1, n+1):
for j in range(v+1):
dp[i][j] = dp[i-1][j]
if j >= i:
dp[i][j] += dp[i][j-i]
print("有%d种组合方式" % dp[n][v])
```
注意,这里的数组是从0开始计数的,因此数组大小为(n+1)×(v+1)。同时,当j<i时,dp[i][j-i]会访问到dp[i][-1],因此需要特判。