递归方程T(n)=aT(n/b)+f(n)之通用解法

递归方程T(n)=aT(n/b)+f(n)的通用解法是主定理（Master Theorem）。主定理给出了递归方程的渐进复杂度的精确解。主定理有三种情况：

1. 如果f(n) = O(n^log_b(a-ε))，其中ε>0，则T(n) = Θ(n^log_b(a))。

2. 如果f(n) = Θ(n^log_b(a))，则T(n) = Θ(n^log_b(a) * log n)。

3. 如果f(n) = Ω(n^log_b(a+ε))，其中ε>0，并且af(n/b) ≤ cf(n)，其中c<1和充分大的n，则T(n) = Θ(f(n))。

其中a是递归调用的次数，b是问题规模的缩小比例，f(n)是递归调用之外的工作量。

相关问题

递归方程求解T(n)=T（n/2）+1

根据递归方程T(n)=T(n/2)+1，我们可以使用递归树或主定理来求解。

方法一：递归树
我们可以使用递归树来求解递归方程。递归树是一种树形结构，它表示递归算法的执行过程。对于递归方程T(n)=T(n/2)+1，我们可以画出如下的递归树：

      T(n)
       |
      T(n/2)
       |
      T(n/4)
       |
      T(n/8)
       |
      ...
       |
      T(1)

其中，每个节点表示递归调用的一个子问题，节点上的数字表示该子问题的规模。由于每次问题的规模减半，所以递归树的深度为logn。又因为每个节点的计算时间为1，所以每层的计算时间为1，总计算时间为logn。因此，递归方程的解为T(n)=logn。

方法二：主定理
主定理是一种求解递归方程的通用方法，适用于形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程，其中a≥1，b>1，f(n)是一个非负函数。对于递归方程T(n)=T(n/2)+1，我们可以将其转化为T(n)=T(n/2^1)+1，其中a=1，b=2，f(n)=1。根据主定理，递归方程的解为T(n)=θ(logn)。

对f(n)=n,并且a=b的情况,证明递归方程T(n)=aT(n/b)+f(n)的解为O(nlogn)

关于递归方程T(n)=aT(n/b)+f(n)，其中a>0，b>1，f(n)=n，我们可以采用主定理来求解。主定理的公式为：

T(n) = aT(n/b) + f(n)

若存在常数c>0和k≥0，使得f(n)=O(n^c log^k n)，且对于递归式 T(n) = aT(n/b) + f(n)，有以下三种情况：

1. 若logb a<c，则T(n)=O(n^c)

2. 若logb a=c，则T(n)=O(n^c log n)

3. 若logb a>c，则T(n)=O(n^logb a)

根据题目中所给的递归方程T(n)=T(n)+n，我们可以看出a=b=1，且f(n)=n=O(n^1 log^0 n)，因此，我们可以根据主定理中的第二种情况，得到T(n) = O(n log n)。