1． 在三维平面上，定义两个平衡点(1,-1,1)和(-1,1,-1),使所有的输入向量经过迭代最后都收敛到这两个点（Hopfield网络设计）。用代码（matlab）实现；

在Hopfield网络中，我们通常使用自组织映射(Self-Organizing Map, SOM)或能量函数来模拟这种收敛过程。Hopfield网络是一种基于吸引子模型的神经网络，它可以用于存储并检索模式。给定两点作为记忆模式，网络的目标是调整权重使得所有输入向量通过多次迭代最终稳定在这两个点附近。

这是一个简单的MATLAB代码示例，用于创建一个二维的Hopfield网络，并演示如何训练它收敛到指定的记忆点：

% 定义记忆点
patterns = [1 -1; -1 1]; % 平衡点 (1,-1,1) 和 (-1,1,-1) 在这里简化为二维

% 创建全零矩阵作为初始权重
weights = zeros(size(patterns,1), size(patterns,2));

% 训练 Hopfield 网络
num_epochs = 50; % 迭代次数
eta = 0.5; % 学习率

for epoch = 1:num_epochs
    for i = 1:size(weights,1)
        % 输入随机向量
        input_vector = randn(2,1);
        
        % 更新权重矩阵
        weights = weights + eta * patterns * input_vector';
        
        % 更新输入向量
        input_vector = sign(weights' * patterns); % 使用Hebbian学习规则
    end
end

% 显示权重矩阵，近似了记忆点的位置
disp(weights);

% 对新输入向量进行迭代，观察收敛
new_input = randn(2,1);
iterates = [];
while true
    iterates = [iterates; new_input];
    new_input = sign(weights' * new_input);
    
    % 判断是否接近记忆点或已达到最大迭代次数
    if norm(new_input - patterns, 'fro') < 1e-6 || length(iterates) >= 1000
        break;
    end
end

% 显示收敛路径
plot(iterates(:,1), iterates(:,2), '.');
hold on;
plot(patterns(1,:), patterns(2,:), 'o', 'MarkerFaceColor', 'b');

% 相关问题--