用列主元高斯消去法 解如下方程组输出方程组的解,及矩阵 L 和 U。
时间: 2023-09-27 20:06:21 浏览: 44
很高兴为您解答问题!请您输入方程组的系数矩阵和常数矩阵,我来为您解答。
假设方程组为:
$$
\begin{cases}
2x_1 + 3x_2 - x_3 = 4 \\
4x_1 + 4x_2 - 3x_3 = 7 \\
-2x_1 + 5x_2 + 6x_3 = 10
\end{cases}
$$
将其表示为增广矩阵的形式:
$$
\left[
\begin{matrix}
2 & 3 & -1 & 4 \\
4 & 4 & -3 & 7 \\
-2 & 5 & 6 & 10
\end{matrix}
\right]
$$
接下来,我们可以通过列主元高斯消去法求解方程组。消元的过程如下:
第一步:将第一列的绝对值最大的元素与第一行交换,得到:
$$
\left[
\begin{matrix}
4 & 4 & -3 & 7 \\
2 & 3 & -1 & 4 \\
-2 & 5 & 6 & 10
\end{matrix}
\right]
$$
同时,我们也需要将常数向量进行相应的交换。
第二步:将第一列以下的元素消为零。将第一行乘以 $-\frac{1}{2}$,再加到第二行上,得到:
$$
\left[
\begin{matrix}
4 & 4 & -3 & 7 \\
0 & -1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
-2 & 5 & 6 & 10
\end{matrix}
\right]
$$
将第一行乘以 $\frac{1}{2}$,再加到第三行上,得到:
$$
\left[
\begin{matrix}
4 & 4 & -3 & 7 \\
0 & -1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
0 & 6 & \frac{9}{2} & \frac{17}{2}
\end{matrix}
\right]
$$
第三步:对第二列进行类似的操作。将第二列以下的元素消为零。将第二行乘以 $-6$,再加到第三行上,得到:
$$
\left[
\begin{matrix}
4 & 4 & -3 & 7 \\
0 & -1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
0 & 0 & \frac{15}{2} & \frac{13}{2}
\end{matrix}
\right]
$$
第四步:解方程组。将增广矩阵化为矩阵 $A$ 和向量 $b$ 的形式:
$$
A=\left[
\begin{matrix}
2 & 3 & -1 \\
4 & 4 & -3 \\
-2 & 5 & 6
\end{matrix}
\right],\quad b=\left[
\begin{matrix}
4 \\
7 \\
10
\end{matrix}
\right]
$$
可以得到:
$$U = \left[
\begin{matrix}
4 & 4 & -3 \\
0 & -1 & \frac{1}{2} \\
0 & 0 & \frac{15}{2}
\end{matrix}
\right],\quad L = \left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 \\
-1 & -6 & 1
\end{matrix}
\right]$$
通过回代求解可得:
$$
x=\left[
\begin{matrix}
1 \\
-2 \\
1
\end{matrix}
\right]
$$
因此,方程组的解为 $x_1=1,x_2=-2,x_3=1$。
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