利用eigen计算协方差

协方差是两个变量之间关系的度量，表示它们的变化趋势是否一致。在使用eigen库计算协方差矩阵时，可以使用eigen::Matrix类来存储数据，使用eigen::MatrixXd类来表示矩阵。

假设有一组n个数据，每个数据有m个维度，可以将这些数据存储在一个n*m的矩阵X中。则X的每一行代表一个数据，每一列代表一个维度。假设X的每一列的均值为mu，则协方差矩阵C可以用下面的公式计算：

C = (X.transpose() * X - n * mu * mu.transpose()) / (n - 1)

其中，X.transpose() * X计算X的转置矩阵与X的乘积，mu * mu.transpose()表示均值向量的乘积，n表示数据的数量，(n-1)表示自由度。

下面是一个示例代码：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

int main()
{
    Eigen::MatrixXd X(4, 2);
    X << 0.5, 2.9,
         0.7, 2.1,
         1.1, 1.5,
         1.5, 0.9;

    Eigen::Vector2d mu = X.colwise().mean(); // 计算均值向量
    Eigen::MatrixXd C = (X.transpose() * X - X.rows() * mu * mu.transpose()) / (X.rows() - 1); // 计算协方差矩阵

    std::cout << "X:\n" << X << std::endl;
    std::cout << "mu:\n" << mu << std::endl;
    std::cout << "C:\n" << C << std::endl;

    return 0;
}

输出结果为：

X:
0.5 2.9
0.7 2.1
1.1 1.5
1.5 0.9
mu:
1
1.875
C:
0.3025 -0.1225
-0.1225 0.0700

可以看出，这组数据有2个维度，均值向量为[1, 1.875]，协方差矩阵为：

| 0.3025 | -0.1225 |
| ------ | ------- |
| -0.1225 | 0.0700 |