利用Python编写PCA算法，实现城市排名数据的降维

PCA（Principal Component Analysis）主成分分析是一种常用的数据降维方法，可以将高维数据转化为低维数据，同时保留原始数据的主要特征。下面是利用 Python 编写 PCA 算法实现城市排名数据的降维的示例代码：

import numpy as np

def pca(data, k):
    # 标准化数据
    mean = np.mean(data, axis=0)
    std = np.std(data, axis=0)
    data = (data - mean) / std

    # 计算协方差矩阵
    cov_mat = np.cov(data, rowvar=False)

    # 计算特征值和特征向量
    eigen_vals, eigen_vecs = np.linalg.eig(cov_mat)

    # 对特征值进行排序
    eigen_pairs = [(np.abs(eigen_vals[i]), eigen_vecs[:, i]) for i in range(len(eigen_vals))]
    eigen_pairs.sort(reverse=True)

    # 取前 k 个特征向量
    w = np.hstack([eigen_pairs[i][1].reshape(-1, 1) for i in range(k)])

    # 转换数据
    transformed = data.dot(w)

    return transformed


# 测试代码
data = np.array([[1, 2, 3, 4], [2, 3, 4, 5], [3, 4, 5, 6], [4, 5, 6, 7]])
k = 2
result = pca(data, k)
print(result)

在上面的代码中，我们先对数据进行标准化处理，然后计算协方差矩阵和特征值、特征向量。接着对特征值进行排序，取前 k 个特征向量，并将数据投影到这些特征向量所张成的空间中。最后返回降维后的数据。在测试代码中，我们将一个 4x4 的矩阵作为输入数据，将其降至 2 维，并输出结果。