逻辑回归的损失函数为什么要使用极大似然函数作为损失函数？

逻辑回归是一种二分类的机器学习算法，其目标是根据给定的数据特征，预测某个样本属于正类的概率。在逻辑回归中，通常使用极大似然函数作为损失函数，这是因为极大似然函数可以有效地衡量模型的预测能力。

在逻辑回归中，我们使用sigmoid函数将线性模型的输出转化为概率值，然后使用交叉熵损失函数来衡量模型的预测误差。而交叉熵损失函数本质上就是极大似然函数的负对数形式。

具体来说，我们假设训练集中每个样本的标签都服从伯努利分布，即正例的概率为p，负例的概率为1-p。那么样本的似然函数就可以表示为：

L(p|x,y) = p^y * (1-p)^(1-y)

其中，x表示样本的特征向量，y表示样本的标签（0或1）。假设样本之间是独立同分布的，则整个训练集的似然函数可以表示为：

L(p|X,Y) = Π[L(p|x,y)]

我们的目标是求解出使得似然函数最大的参数p。为了方便求解，通常将似然函数取对数，并将其乘以-1作为损失函数，即：

J(p|X,Y) = -log L(p|X,Y) = -Σ[yi*log(pi) + (1-yi)*log(1-pi)]

其中，pi表示模型对第i个样本属于正例的预测概率。可以看到，上述损失函数就是交叉熵损失函数的形式。