斐波那契数列矩阵乘法
时间: 2023-09-11 17:03:18 浏览: 48
斐波那契数列可以使用矩阵乘法来进行高效计算。斐波那契数列的定义是:F(0) = 0,F(1) = 1,F(n) = F(n-1) + F(n-2),其中 n 是大于等于2的整数。
我们可以用一个矩阵来表示斐波那契数列的递推关系。令 F(n) 的矩阵表示为 [[F(n+1), F(n)], [F(n), F(n-1)]],那么根据斐波那契数列的递推关系,有以下矩阵乘法的公式:
[[F(n+1), F(n)], [F(n), F(n-1)]] = [[1, 1], [1, 0]] * [[F(n), F(n-1)], [F(n-1), F(n-2)]]
通过不断迭代这个公式,我们可以快速计算得到 F(n) 的矩阵表示,然后取出第一行的第一个元素即为 F(n) 的值。
以下是使用矩阵乘法计算斐波那契数列的示例代码(
相关问题
斐波那契数列矩阵快速幂
斐波那契数列的矩阵快速幂实现方式如下所示:
首先,我们定义一个2阶矩阵:
\[ M = \begin{bmatrix} 1\enspace 1\\ 1\enspace 0 \end{bmatrix} \]
然后,根据斐波那契数列的递推公式\[ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \],我们可以将这个公式抽象成矩阵运算的形式:
\[ \begin{bmatrix} F_{n} \\ F_{n-1} \end{bmatrix} = M^{n-1} \cdot \begin{bmatrix} F_1 \\ F_0 \end{bmatrix} \]
其中,\[ F_1 \]和\[ F_0 \]分别表示斐波那契数列的初始值。
通过快速幂运算的思想,我们可以将指数为正整数的幂运算复杂度从\[ O(n) \]降低到\[ O(\log_2 n) \],而且矩阵乘法运算也符合结合律,因此可以使用矩阵快速幂来计算斐波那契数列。
代码实现如下:
```python
import numpy as np
def fibonacci_matrix_power(n, f1, f0):
M = np.array([[1, 1], [1, 0]]) # 定义2阶矩阵M
result = np.array([[f1], [f0]]) # 初始值矩阵
power = np.eye(2, dtype=int) # 幂运算的初始值为单位矩阵
while n > 0:
if n % 2 == 1:
power = np.dot(power, M) # 如果n是奇数,将M乘到结果矩阵上
M = np.dot(M, M) # 将M自乘,n每次右移一位
n //= 2
result = np.dot(power, result) # 最终的结果矩阵
return result # 返回斐波那契数列的第n项
# 测试示例
n = 10
f1 = 1
f0 = 0
fib_n = fibonacci_matrix_power(n, f1, f0)
print(fib_n)
```
这段代码通过矩阵快速幂的方式计算斐波那契数列的第n项,其中参数n为要计算的项数,f1和f0分别为斐波那契数列的初始值。运行结果为斐波那契数列的第n项的值。
递归调用矩阵乘法实现斐波那契数列
可以使用矩阵乘法的递归调用来实现斐波那契数列,具体实现如下:
```python
def fib(n):
if n == 0 or n == 1:
return n
else:
F = [[1, 1], [1, 0]]
return matrix_pow(F, n-1)[0][0]
def matrix_mul(A, B):
C = [[0, 0], [0, 0]]
for i in range(2):
for j in range(2):
for k in range(2):
C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]
return C
def matrix_pow(F, n):
if n == 1:
return F
elif n % 2 == 0:
F_half = matrix_pow(F, n//2)
return matrix_mul(F_half, F_half)
else:
F_half = matrix_pow(F, (n-1)//2)
return matrix_mul(matrix_mul(F_half, F_half), F)
```