写出用MATLAB中使用拉格朗日插值法计算函数1/(1+25x^2)的五次，十次，二十次拉格朗日插值多项式，并在同一坐标系下画出三者的图像？

在MATLAB中，可以使用`linspace`函数创建等间距的节点，然后通过`lagrange`函数计算拉格朗日基 polynomials，最后利用`polyval`函数构造多项式并绘制图形。以下是基本步骤：

首先，我们需要选择一些数据点，这里我们假设想要对区间[-1, 1]内的数据进行插值。我们可以设置5、10和20个等距的节点，比如`x = linspace(-1, 1, [5, 10, 20])`。

对于三次（五次，十次，二十次）拉格朗日插值，你需要选取相应数量的数据点（例如，如果你有五个节点，你只能做五次插值）。对于示例，我们只展示五次插值，因为超过四阶的插值在显示上可能没有明显区别。

% 定义节点
x_nodes = linspace(-1, 1, 5); % 使用5个节点

% 计算对应的y值 (1/(1+25*x^2))
y_nodes = 1 ./ (1 + 25 * x_nodes.^2);

% 五次拉格朗日插值多项式
p5 = polyfit(x_nodes, y_nodes, 4); % 因为五次多项式最高次项为x^4

% 插值函数
lagrange_5th = @(x) polyval(p5, x);

% 计算插值后的y值
y_interp_5th = lagrange_5th(linspace(-1, 1, 100)); % 更细的网格用于绘图

% 类似地，计算10次和20次插值...
p10 = polyfit(x_nodes, y_nodes, 9);
lagrange_10th = @(x) polyval(p10, x);
y_interp_10th = lagrange_10th(linspace(-1, 1, 100));

p20 = polyfit(x_nodes, y_nodes, 19);
lagrange_20th = @(x) polyval(p20, x);
y_interp_20th = lagrange_20th(linspace(-1, 1, 100));

% 绘制图像
plot(x_nodes, y_nodes, 'o', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Data Points');
hold on;
plot(x, y_interp_5th, 'r-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '5th Degree Lagrange');
plot(x, y_interp_10th, 'g:', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '10th Degree Lagrange');
plot(x, y_interp_20th, 'b--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '20th Degree Lagrange');
legend('show');

xlabel('x');
ylabel('1/(1+25x^2)');
title('Lagrange Interpolation Polynomials for Various Degrees');
hold off;