扩展欧几里得算法求逆元c语言,关于扩展欧几里得算法和逆元

扩展欧几里得算法是求解一元一次不定方程 ax + by = gcd(a,b) 的一种方法，其中 a 和 b 是整数，gcd(a,b) 是它们的最大公约数，x 和 y 是整数解。逆元是指在模运算下，一个数的乘法逆元是指与它相乘后模运算得到 1 的数。在数论中，常常需要求一个数在模意义下的逆元，即一个数 k 满足 (k * x) % m = 1，其中 m 是模数。

下面是扩展欧几里得算法求逆元的 C 语言实现：

#include <stdio.h>

// 扩展欧几里得算法
int exgcd(int a, int b, int *x, int *y) {
    if (b == 0) {
        *x = 1;
        *y = 0;
        return a;
    }
    int gcd = exgcd(b, a % b, y, x);
    *y -= a / b * (*x);
    return gcd;
}

// 求逆元
int modinv(int a, int m) {
    int x, y;
    int gcd = exgcd(a, m, &x, &y);
    if (gcd != 1) {
        return -1; // a 和 m 不互质，不存在逆元
    } else {
        return (x % m + m) % m; // 转化为正整数
    }
}

int main() {
    int a = 3, m = 11;
    int inv = modinv(a, m);
    if (inv == -1) {
        printf("%d 在模 %d 意义下不存在逆元\n", a, m);
    } else {
        printf("%d 在模 %d 意义下的逆元是 %d\n", a, m, inv);
    }
    return 0;
}

这个程序中，exgcd 函数通过递归实现扩展欧几里得算法，返回 a 和 b 的最大公约数，并且求出 x 和 y 的值。在 modinv 函数中，我们调用 exgcd 函数求出 a 和 m 的最大公约数，并且判断 a 和 m 是否互质，如果不互质则不存在逆元。否则，根据扩展欧几里得算法的结果，求出 x 的值作为 a 在模 m 意义下的逆元。注意，由于 x 可能是负数，所以要将其转化为正整数。