设a对称正定,欲解ax=b。取k=l=span用galerkin原理来求解

设向量空间V为n维实数域上的向量空间，且a是V上的对称正定线性变换。现在我们需要解决线性方程组ax=b，其中b为V中的一个已知向量。

为了求解这个线性方程组，我们可以使用Galerkin方法，即取k=span{v1, v2, ..., vm}和l=span{w1, w2, ..., wn}，其中{v1, v2, ..., vm}和{w1, w2, ..., wn}分别是V的一组基。接着，我们需要找到满足条件的近似解xk∈k和yl∈l，使得残差r=b-axk在l中的正交补空间中。

使用Galerkin方法求解线性方程组的基本思想是将原问题转化为求解一个更简单的问题。我们可以将原始问题ax=b的解x表示为xk+yl，其中xk是k中的一个向量，yl是l中的一个向量，而且r=b-axk正交于l中的每一个向量。根据Galerkin原理，我们可以将原方程组转化为在k和l中的两个子空间中求解线性方程组。

具体来说，我们可以将原方程组ax=b改写为a(xk+yl) = b，然后对残差r=b-axk在l中的正交补空间中进行求解，从而得到xk和yl的近似解。

通过Galerkin方法，我们可以用k=span{v1, v2, ..., vm}和l=span{w1, w2, ..., wn}来求解对称正定线性变换a的线性方程组ax=b，找到逼近解xk∈k和yl∈l，从而得到原方程组的解。

相关问题

给我一个使用基于Galerkin原理的arnoldi算法迭代求解线性方程组的例子

考虑如下线性方程组：

$$Ax=b$$

其中，$A$是一个$n\times n$的稀疏矩阵，$b$是一个$n\times 1$的向量，我们需要求解$x$。

使用Galerkin原理，我们可以将该线性方程组转化为求解下面的矩阵特征值问题：

$$H y_k = y_{k+1}$$

其中，$H=V^T A V$，$V$是一个$n\times k$的正交矩阵，$y_k$是一个$k\times 1$的向量，$y_{k+1}$是$y_k$在$V$的列空间上的投影。

Arnoldi算法是一种迭代方法，用于求解上面的矩阵特征值问题。它的基本思想是在每一步迭代中，将当前的正交基向量$v_k$与$A$相乘，得到一个新的向量$h_{k+1,k}=Av_k$，然后对$h_{k+1,k}$进行正交化，得到一个新的正交基向量$v_{k+1}$，以此类推。

具体来说，Arnoldi算法的迭代过程如下：

1. 选择一个初始向量$v_1$，将其单位化得到$v_1^*$。

2. 对于$k=1,2,\cdots,m$，做如下迭代：

(a) 计算$h_{k+1,k}=Av_k$。

(b) 令$H_{k+1,k}=h_{1:k+1,k}$，$V_{k+1}=[v_1,v_2,\cdots,v_{k+1}]$。

(c) 对$H_{k+1,k}$进行正交化，得到一个新的向量$h_{k+1,k}^*$，并令$v_{k+1}=h_{k+1,k}^*- \sum_{i=1}^k h_{i,k}^*v_i$。

(d) 将$v_{k+1}$单位化得到$v_{k+1}^*$。

3. 将$V_m$和$H_{m,m-1}$代入矩阵特征值问题$H y_k = y_{k+1}$中，使用标准的特征值求解方法求解特征值和特征向量。

4. 对于求得的特征值$\lambda_k$和特征向量$y_k$，设$x_k=V_my_k$，则$x_k$是原线性方程组的一个解。

下面给出一个具体的例子：

考虑如下线性方程组：

$$\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$$

我们使用Arnoldi算法迭代求解该线性方程组。首先选取一个单位向量$v_1=[1,0,0]^T$，然后进行迭代。迭代过程中，我们需要计算$Av_k$，并对其进行正交化，得到一个新的向量$v_{k+1}$。

迭代1：

$$h_{2,1}=Av_1=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}$$

进行正交化，得到$h_{2,1}^*=[\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}},0]^T$，然后令$v_2=h_{2,1}^*$，得到$v_2^*=[\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}},0]^T$。

迭代2：

$$h_{3,2}=Av_2=\begin{pmatrix}\frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{7}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}$$

进行正交化，得到$h_{3,2}^*=[\frac{2}{\sqrt{30}},\frac{7-2\sqrt{5}}{\sqrt{150}},\frac{1}{\sqrt{30}}]^T$，然后令$v_3=h_{3,2}^*-\frac{h_{2,2}^*}{\|h_{2,2}^*\|^2}(h_{3,2}^*\cdot h_{2,2}^*)$，其中，$h_{2,2}=v_2^* A v_2=\begin{pmatrix}\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{7}{\sqrt{5}} & 0\end{pmatrix}^T$。化简得：

$$v_3^*=[\frac{2}{\sqrt{30}},\frac{3\sqrt{5}-7}{\sqrt{150}},\frac{1}{\sqrt{30}}]^T$$

迭代3：

此时，$H_{4,3}$已经是一个上Hessenberg矩阵，无需进行正交化。我们可以将$V_3$和$H_{3,2}$代入矩阵特征值问题$H y_k = y_{k+1}$中，使用标准的特征值求解方法求解特征值和特征向量。求解得到的特征值为$\lambda_1\approx 4.5804$，$\lambda_2\approx 1.7484$，$\lambda_3\approx 0.6712$，对应的特征向量为：

$$y_1^*=[0.1708,-0.9849,-0.0224], y_2^*=[0.3390,-0.1434,0.9294], y_3^*=[-0.9246,-0.0895,0.3702]$$

最终，我们得到的三个解分别为$x_1=V_3y_1=[-0.0150,-1.2553,0.3243]^T$，$x_2=V_3y_2=[-0.9265,0.8456,0.9272]^T$，$x_3=V_3y_3=[-0.6292,0.3155,1.2036]^T$。

间断Galerkin求解NS方程Python代码

间断加权 galerkin (Discontinuous Galerkin, DG) 方法是一种用于数值求解偏微分方程的有限元素技术，在处理复杂边界条件、非线性问题以及间断系数上特别有效。在 Python 中，常用的库如 FEniCS 或者 firedrake 提供了对DG方法的支持。

以下是一个简化的间断Galerkin求解Navier-Stokes方程（NS方程，即连续流体动力学模型）的Python示例，假设我们正在使用FEniCS库：

import fenics as fn

# 定义域和边界条件
domain = fn.UnitSquareMesh(8, 8)
V = fn.VectorFunctionSpace(domain, "P", 1, "DG")  # 使用一阶DG函数空间
W = fn.FunctionSpace(domain, "P", 1)            # 压力空间

u = fn.TrialFunction(V)
v = fn.TestFunction(V)
p = fn.TrialFunction(W)

# 函数定义
u_n = fn.interpolate(fn.Expression("sin(pi*x[0])"), V)  # 初始速度场
f = ...  # 根据实际问题定义外力

# 边界条件
def boundary(x, on_boundary):
    return on_boundary

bc_u = fn.DirichletBC(V, fn.Constant((0, 0)), boundary)

# 强度形式
a = fn.dot(fn.nabla_grad(u), fn.nabla_grad(v))*fn.dx - \
    fn.inner(fn.div(u), v)*fn.dx + fn.inner(f, v)*fn.dx
L = - fn.div(v)*p*fn.dx

# 时间步长和时间积分
dt = 0.01
T = 1.0
num_steps = int(T / dt)

# 解法
u_new = fn.Function(V)
for step in range(num_steps):
    fn.solve(a == L, u_new, bc_u)
    u.assign(u_new)  # 更新速度场

这个例子展示了如何设置空间、定义变量、建立弱形式并进行时间迭代。具体的细节会依赖于NS方程的具体形式、边界条件以及所需的物理参数。