考虑简单的抛硬币问题. 现有两枚硬币$A$和$B$，正面朝上的概率分别为$\theta_A, \theta_B$, 结果朝上 记为H~(head), 朝下记为T~(tail). 独立地进行$N$轮实验, 在第$k$轮实验中, 以均等概率选择一枚硬币$Z_k \in \{A,B\}$并重复抛掷$M$次, 其中硬币朝上的次数$X_k$为可观测变量, 而选择的硬币类型$Z_k$为隐变量不可观测. 我们将使用EM算法, 迭代一次, 对参数$\theta = (\theta_A, \theta_B)$进行估计, 使用的实验数据为HTTTHHTHTH，HHHHTHHHHH，HTHHHHHTHH. 具体而言共3轮实验, 每轮选取的硬币记为$z_i ~ (i=1,2,3)$, 抛掷10次并记录结果, 硬币朝上的次数记为$x_i ~ (i=1,2,3)$. 假设参数的初始值$\theta^0 = (0.6, 0.5)$. 请结合实验数据, 推断出隐变量取值$Z = (z_1, z_2)$的分布, 即推断出第$i$轮实验~($i=1,2,3$)中抛掷硬币$A$、硬币$B$各自的概率, 完善表\ref{table: EM}的第2-3列.

根据EM算法的迭代步骤，我们可以先计算出后验分布$P(Z|X,\theta^0)$，再根据$P(Z|X,\theta^0)$计算出$\theta^{1}$。在这个过程中，我们需要多次地计算$P(Z|X,\theta)$，并根据该分布计算新的$\theta$。具体而言，我们可以按照以下步骤进行迭代：

**E步骤**：计算在给定参数$\theta^0$下，隐变量$Z$的后验分布$P(Z|X,\theta^0)$.

根据题目中的实验数据和参数初始值，我们可以计算出每轮实验中选取硬币$A$、硬币$B$的后验概率，如下表所示：

| 实验数据 | $x$ | $z$ | $P(Z=A|X,\theta^0)$ | $P(Z=B|X,\theta^0)$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| HTTTHHTHTH | 4 | A | 0.914 | 0.086 |
| HHHHTHHHHH | 5 | B | 0.000 | 1.000 |
| HTHHHHHTHH | 8 | B | 0.000 | 1.000 |

**M步骤**：计算在给定隐变量$Z$的分布$P(Z|X,\theta^0)$下的参数$\theta^{1}$.

根据后验分布$P(Z|X,\theta^0)$，我们可以计算出新的参数$\theta^{1}$。具体而言，我们可以根据以下公式计算：
\begin{aligned}
\theta_A^{1} &= \frac{\sum_{i=1}^3 P(Z_i=A|X_i,\theta^0)X_i}{\sum_{i=1}^3 P(Z_i=A|X_i,\theta^0)M}\\
\theta_B^{1} &= \frac{\sum_{i=1}^3 P(Z_i=B|X_i,\theta^0)X_i}{\sum_{i=1}^3 P(Z_i=B|X_i,\theta^0)M}
\end{aligned}

根据表格中计算出来的后验概率，我们可以计算出$\theta_A^{1}$和$\theta_B^{1}$的值，如下所示：

\begin{aligned}
\theta_A^{1} &= \frac{4\times 0.914 + 0\times 0 + 0\times 0}{4\times 0.914 + 5\times 0 + 0\times 0.086 + 0\times 1 + 8\times 0 + 2\times 1} = 0.552\\
\theta_B^{1} &= \frac{6\times 0.086 + 5\times 1 + 8\times 1}{4\times 0.914 + 5\times 0 + 0\times 0.086 + 0\times 1 + 8\times 0 + 2\times 1} = 0.634
\end{aligned}

因此，我们推断出第$i$轮实验中选取硬币$A$、硬币$B$各自的概率分别为$\theta_A^{1}=0.552$和$\theta_B^{1}=0.634$。完善表\ref{table: EM}的第2-3列，得到：

| 实验数据 | $x$ | $z$ | $P(Z=A|X,\theta^0)$ | $P(Z=B|X,\theta^0)$ | $\theta_A^{1}$ | $\theta_B^{1}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| HTTTHHTHTH | 4 | A | 0.914 | 0.086 | 0.552 | 0.634 |
| HHHHTHHHHH | 5 | B | 0.000 | 1.000 | 0.552 | 0.634 |
| HTHHHHHTHH | 8 | B | 0.000 | 1.000 | 0.552 | 0.634 |