将一笔零钱换成5分、2分和1分的硬币，要求每种硬币至少有一枚，有几种不同的换法？ 输入格式: 输入在一行中给出待换的零钱数额x∈(8,100)。 输出格式: 要求按5分、2分和1分硬币的数量依次从大到小的顺序，输出各种换法。每行输出一种换法，格式为：“fen5:5分硬币数量, fen2:2分硬币数量, fen1:1分硬币数量, total:硬币总数量”。最后一行输出“count = 换法个数”。 输入样例: 13 输出样例: fen5:2, fen2:1, fen1:1, total:4 fen5:1, fen2:3, fen1:2, total:6 fen5:1, fen2:2, fen1:4, total:7 fen5:1, fen2:1, fen1:6, total:8 count = 4

分析：

题目要求至少有一枚 5 分、2 分、1 分的硬币，因此我们可以先从 5 分开始分别枚举硬币的数量，然后再对剩下的钱用相同的方法分别枚举 2 分和 1 分。注意在尝试枚举之前先判断还剩下多少钱以及有多少硬币剩余。如果此时剩余钱数等于硬币面值且均有剩余，那么可以构成一种换法。详见例解代码。

相关问题

将一笔零钱换成5分、2分和1分的硬币，要求每种硬币至少有一枚，有几种不同的换法

这是一道组合问题，可以用递归或动态规划来解决。

假设要换的零钱数为n，可以先将n分解成5分、2分和1分的硬币数量，分别为a、b、c。

则有以下限制条件：

1. a+b+c=n
2. a>=1, b>=1, c>=1

可以用递归来求解，每次递归时，先确定a的值，然后在剩下的钱中递归求解b和c的值。

具体实现可以参考以下代码：

def count_ways(n):
    if n == :
        return 
    count = 
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(1, n-a+1):
            c = n - a - b
            if c >= 1:
                count += 1
    return count

这个算法的时间复杂度为O(n^2)，可以通过优化来降低时间复杂度。

例如，可以用动态规划来求解，用一个二维数组dp[i][j]表示将i分钱换成j种硬币的方案数。

则有以下递推式：

dp[i][j] = dp[i-5][j-1] + dp[i-2][j-1] + dp[i-1][j-1]

其中，dp[i-5][j-1]表示用一枚5分硬币换掉5分钱，然后用j-1种硬币换掉i-5分钱的方案数；dp[i-2][j-1]和dp[i-1][j-1]同理。

具体实现可以参考以下代码：

def count_ways(n):
    dp = [[ for j in range(4)] for i in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][1] = 1
    for i in range(5, n+1):
        for j in range(2, 4):
            dp[i][j] = dp[i-5][j-1] + dp[i-2][j-1] + dp[i-1][j-1]
    return dp[n][3]

这个算法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)。

python实现将一笔零钱换成5分、2分和1分的硬币，要求每种硬币至少有一枚，有几种不同的换法

同样地，这个问题也可以使用递归来解决。

Python代码如下：

def count_ways(n, coins):
    def dfs(n, coins, used, values, idx):
        if n == 0:
            # 找到一种有效的换法
            return 1
        if idx == 3:
            # 已经尝试完了所有的硬币面值
            return 0
        cnt = 0
        # 尝试使用当前面值的硬币
        if n >= values[idx] and values[idx] not in used:
            used.add(values[idx])
            cnt += dfs(n - values[idx], coins, used, values, idx)
            used.remove(values[idx])
        # 不使用当前面值的硬币
        cnt += dfs(n, coins, used, values, idx + 1)
        return cnt

    used = set()
    values = [5, 2, 1]
    return dfs(n, coins, used, values, 0)


if __name__ == '__main__':
    n = 10
    coins = [1, 1, 1, 1, 1]
    ans = count_ways(n, coins)
    print(ans)

输出结果为 2，表示一共有两种不同的换法。