正弦函数的傅里叶变换频谱

### 正弦函数的傅里叶变换频谱

在信号处理领域，正弦函数是一个基本而重要的周期性波形。对于一个标准形式的连续时间正弦信号 \( s(t) = A \sin(2\pi f_0 t + \phi) \)，其中\(A\)表示振幅，\(f_0\)代表频率，\(\phi\)则是相位角。

当对该类信号执行傅立叶变换时，在理想情况下只会在特定的位置即该正弦波对应的频率处得到两个冲激响应：一个位于正值频率\(f_0\)上，另一个则处于负值频率\(-f_0\)位置[^2]。这两个脉冲的高度取决于原始正弦波的形式参数——具体来说就是其幅度的一半以及可能存在的相移影响。

因此，如果观察到的是单位幅度无初相位的标准正弦波，则理论上预期看到的结果是在±\(f_0\)Hz处各有一个强度为0.5的理想化狄拉克δ函数峰值；而在其他任何地方都应该是零值区域。然而实际应用中由于测量噪声等因素的影响，可能会观测到轻微偏离这一理论模型的现象。

import numpy as np
from scipy.fft import fft, fftfreq
import matplotlib.pyplot as plt

# 参数设置
sample_rate = 1000  # Hz
duration = 1       # 秒
frequency = 5      # Hz (sine wave frequency)

t = np.linspace(0, duration, int(sample_rate * duration), endpoint=False)
signal = np.sin(2 * np.pi * frequency * t)

N = sample_rate * duration
yf = fft(signal)
xf = fftfreq(N, 1 / sample_rate)[:N//2]

plt.plot(xf, 2/N * np.abs(yf[:N//2]))
plt.grid()
plt.title('Spectrum of Sine Wave')
plt.xlabel('Frequency [Hz]')
plt.ylabel('Amplitude |X(f)|');

此图展示了如何通过快速傅里叶变换算法来计算并绘制给定离散采样数据所对应的实际频域特性曲线。这里特别注意到了仅存在一对显著尖峰分别出现在指定输入信号的基础频率及其镜像位置附近，这完全符合上述关于纯正弦波傅里叶变换特性的描述。