倒幂法求低阶特征值与eig函数

倒幂法是一种用于求解低阶特征值的迭代算法。它可以通过迭代矩阵与向量的乘积来逐渐逼近所需的特征值。

倒幂法的原理是，我们可以选择一个初始向量作为近似特征向量，然后通过多次迭代将该向量进行归一化，并乘以矩阵的逆来逼近所需的特征向量。而逼近的特征值则通过将近似特征向量与矩阵相乘来得到。

具体的算法步骤如下：
1. 选择一个初始的近似特征向量x0和一个收敛阈值ε。
2. 对k= 1, 2, 3, ... 进行迭代：
a. 计算v = A^(-1) * x(k-1)，其中A^(-1)为矩阵A的逆。
b. 将v进行归一化得到x(k) = v / ||v||，其中||v||为v的范数。
c. 计算特征值λ(k) = (x(k))^T * A * x(k)。
d. 若|x(k) - x(k-1)| < ε，则算法收敛，停止迭代。
3. 返回特征值λ(k)和对应的特征向量x(k)作为近似解。

相比于直接使用eig函数求解特征值，倒幂法的计算复杂度较低。但是需要注意的是，在实际应用中，倒幂法对于求解特征值有一定的局限性，例如对于奇异值较小的矩阵，倒幂法可能无法收敛或者收敛速度较慢。因此，在选择合适的迭代算法时，需要根据具体问题的特点和要求进行权衡和选择。