正态分布联合概率密度

正态分布的联合概率密度可以通过两个正态分布的概率密度函数的乘积来计算。设有两个随机变量X和Y，分别服从均值为μ₁和μ₂，方差为σ₁²和σ₂²的正态分布。则X和Y的联合概率密度函数为：

f(x, y) = (1 / (2πσ₁σ₂√(1 - ρ²))) * exp(-Q / (2(1 - ρ²)))
其中，Q = (x - μ₁)² / σ₁² - 2ρ(x - μ₁)(y - μ₂) / (σ₁σ₂) + (y - μ₂)² / σ₂²，ρ为X和Y的相关系数。

相关问题

高斯正态分布和多元正态分布是同一分布吗？

高斯正态分布和多元正态分布不是同一分布，但它们之间存在一定的联系。

高斯正态分布，也称为一维正态分布，是指随机变量 X 满足均值为 μ，方差为 σ^2 的概率分布，通常表示为 N(μ, σ^2)。在一维正态分布中，随机变量 X 的取值只有一个。

而多元正态分布是指多个随机变量 X1, X2, ..., Xn 满足联合正态分布的概率分布。它的概率密度函数是一个 n 维高斯函数，通常表示为 N(μ, Σ)，其中 μ 是一个 n 维向量，Σ 是一个 n×n 的协方差矩阵。在多元正态分布中，随机变量 X 可以取多个值。

因此，高斯正态分布是多元正态分布的一种特殊情况，即当 n=1 时，多元正态分布就变成了高斯正态分布。

正态分布下德最大似然估计

正态分布下的最大似然估计是指，已知一组样本数据，通过对这组数据进行统计分析，得到正态分布的参数估计值，使得这组数据出现的概率最大。在正态分布中，最大似然估计的参数包括均值和方差。

具体来说，设样本数据为 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，则正态分布的概率密度函数为：

$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
$$

其中，$\mu$ 和 $\sigma$ 分别为正态分布的均值和标准差。根据最大似然估计的原理，我们需要找到一组参数 $\hat{\mu}$ 和 $\hat{\sigma}$，使得样本数据出现的概率最大。

设样本数据的联合概率密度函数为：

$$
L(\mu,\sigma)=\prod_{i=1}^n f(x_i)=\prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
$$

则最大似然估计的参数 $\hat{\mu}$ 和 $\hat{\sigma}$ 分别满足以下方程：

$$
\frac{\partial L(\mu,\sigma)}{\partial \mu}=0,\quad \frac{\partial L(\mu,\sigma)}{\partial \sigma}=0
$$

解这组方程可以得到：

$$
\hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,\quad \hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\hat{\mu})^2}
$$

这就是正态分布下的最大似然估计。