正态分布联合概率密度

正态分布的联合概率密度可以通过两个正态分布的概率密度函数的乘积来计算。设有两个随机变量X和Y，分别服从均值为μ₁和μ₂，方差为σ₁²和σ₂²的正态分布。则X和Y的联合概率密度函数为：

f(x, y) = (1 / (2πσ₁σ₂√(1 - ρ²))) * exp(-Q / (2(1 - ρ²)))
其中，Q = (x - μ₁)² / σ₁² - 2ρ(x - μ₁)(y - μ₂) / (σ₁σ₂) + (y - μ₂)² / σ₂²，ρ为X和Y的相关系数。

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正态分布联合密度分布概率函数以及微积分编程代码用jupyter实现

正态分布（也称高斯分布）是一种连续概率分布，其联合密度分布的概率密度函数（PDF）可以用公式表示：

对于二维正态分布 (X,Y)，其联合概率密度函数（Joint Probability Density Function, JPDF）可以写作：
\[ f(X,Y) = \frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}} e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)} [(X-\mu_X)^2/\sigma_X^2 - 2\rho(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)/(\sigma_X\sigma_Y) + (Y-\mu_Y)^2/\sigma_Y^2]} \]

其中，\( \mu_X \), \( \mu_Y \) 是均值，\( \sigma_X \), \( \sigma_Y \) 是标准差，而 \( \rho \) 是两个变量之间的相关系数。

在Jupyter Notebook中，你可以使用`scipy.stats.multivariate_normal`库来计算正态分布的联合概率。以下是一个简单示例：

import numpy as np
from scipy.stats import multivariate_normal as mvn
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

# 参数设置
mean = [0, 0]  # 均值
covariance = [[1, 0.5], [0.5, 1]]  # 协方差矩阵
correlation = covariance[0][1] / np.sqrt(covariance[0][0] * covariance[1][1])  # 相关系数

# 创建数据网格
x, y = np.mgrid[-3:3:.01, -3:3:.01]
pos = np.empty(x.shape + (2,))
pos[:, :, 0] = x
pos[:, :, 1] = y

# 计算概率密度
rv = mvn(mean=mean, cov=covariance)
density = rv.pdf(pos)

# 绘制概率密度图
plt.figure(figsize=(8, 6))
sns.heatmap(density.T, cmap="Blues", annot=True, cbar=False,
            linewidths=.5, square=True, xticklabels=np.arange(-3, 3.1),
            yticklabels=np.arange(-3, 3.1))
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title(r'Joint PDF of Normal Distribution with $\rho$ = {:.2f}'.format(correlation))

plt.show()

这个代码会生成一个二维热力图，展示指定正态分布下的联合概率密度。

高斯正态分布和多元正态分布是同一分布吗？

高斯正态分布和多元正态分布不是同一分布，但它们之间存在一定的联系。

高斯正态分布，也称为一维正态分布，是指随机变量 X 满足均值为 μ，方差为 σ^2 的概率分布，通常表示为 N(μ, σ^2)。在一维正态分布中，随机变量 X 的取值只有一个。

而多元正态分布是指多个随机变量 X1, X2, ..., Xn 满足联合正态分布的概率分布。它的概率密度函数是一个 n 维高斯函数，通常表示为 N(μ, Σ)，其中 μ 是一个 n 维向量，Σ 是一个 n×n 的协方差矩阵。在多元正态分布中，随机变量 X 可以取多个值。

因此，高斯正态分布是多元正态分布的一种特殊情况，即当 n=1 时，多元正态分布就变成了高斯正态分布。