MATLAB正态分布多变量分析：探索多变量正态分布的特性

# 1. 多变量正态分布的理论基础**

**1.1 多变量正态分布的定义**

多变量正态分布是一种概率分布，它描述了多个随机变量的联合分布。这些随机变量遵循正态分布，并且它们的协方差矩阵是正定的。

**1.2 概率密度函数**

多变量正态分布的概率密度函数为：

f(x) = (2π)^(-p/2) |Σ|^(-1/2) exp(-1/2(x-μ)^T Σ^(-1) (x-μ))

其中：

* x 是 p 维随机变量
* μ 是 p 维均值向量
* Σ 是 p×p 协方差矩阵
* |Σ| 是 Σ 的行列式

# 2. MATLAB 中的多变量正态分布建模

### 2.1 正态分布的概率密度函数

正态分布，也称为高斯分布，是一种连续概率分布，其概率密度函数 (PDF) 为：

f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-(x - μ)² / (2σ²))

其中：

- `μ` 是分布的均值
- `σ` 是分布的标准差
- `π` 是圆周率

在多变量正态分布中，概率密度函数的维度与变量的数量相同。对于一个 `p` 维多变量正态分布，PDF 为：

f(x) = (1 / ((2π)^(p/2) * |Σ|^(1/2))) * exp(-(1/2) * (x - μ)' * Σ^(-1) * (x - μ))

其中：

- `x` 是一个 `p` 维向量，表示变量的值
- `μ` 是一个 `p` 维向量，表示分布的均值
- `Σ` 是一个 `p x p` 的协方差矩阵
- `|Σ|` 是协方差矩阵的行列式

### 2.2 多变量正态分布的协方差矩阵

协方差矩阵描述了多变量正态分布中变量之间的协方差。它是一个对称矩阵，对角线元素表示变量的方差，非对角线元素表示变量之间的协方差。

协方差矩阵的元素为：

Σ(i, j) = cov(X_i, X_j)

其中：

- `X_i` 和 `X_j` 是多变量正态分布中的两个变量
- `cov` 是协方差函数

### 2.3 MATLAB 中多变量正态分布的生成

在 MATLAB 中，可以使用 `mvnrnd` 函数生成多变量正态分布的随机样本。该函数的语法为：

X = mvnrnd(μ, Σ, n)

其中：

- `μ` 是一个 `p` 维向量，表示分布的均值
- `Σ` 是一个 `p x p` 的协方差矩阵
- `n` 是要生成的样本数量

`mvnrnd` 函数返回一个 `n x p` 的矩阵，其中每一行表示一个多变量正态分布的样本。

**代码块：**

% 定义分布参数
mu = [0, 0];
Sigma = [1, 0.5; 0.5, 1];

% 生成 100 个样本
X = mvnrnd(mu, Sigma, 100);

% 绘制散点图
scatter(X(:, 1), X(:, 2));
xlabel('X1');
ylabel('X2');
title('多变量正态分布散点图');

**逻辑分析：**

这段代码生成了一个二维多变量正态分布的 100 个样本。`mu` 和 `Sigma` 分别表示分布的均值和协方差矩阵。`mvnrnd` 函数返回了一个 `100 x 2` 的矩阵 `X`，其中每一行表示一个样本。最后，`scatter` 函数绘制了样本的散点图。

**参数说明：**

- `mu`：分布的均值向量
- `Sigma`：分布的协方差矩阵
- `n`：要生成的样本数量

# 3. 多变量