MATLAB正态分布混合模型：揭示复杂数据分布的奥秘

# 1. MATLAB正态分布混合模型概述**

正态分布混合模型（GMM）是一种统计模型，它假设数据由多个正态分布的混合组成。每个正态分布代表数据中的一个簇，并且每个簇具有自己的均值和协方差。GMM广泛用于数据分析，包括聚类、密度估计和异常检测。

在MATLAB中，可以使用`fitgmdist`函数来拟合GMM。该函数采用数据矩阵作为输入，并返回一个`gmdistribution`对象，其中包含模型参数。`gmdistribution`对象提供了用于评估模型和生成数据的各种方法。

# 2. 正态分布混合模型的理论基础

### 2.1 概率分布理论

概率分布是描述随机变量可能取值的概率的一种数学模型。它可以用于描述各种现象，从硬币抛掷的结果到人口的身高分布。

在概率论中，概率分布可以用概率密度函数（PDF）或累积分布函数（CDF）来表示。PDF 给出了随机变量取特定值的概率，而 CDF 给出了随机变量取小于或等于特定值的概率。

### 2.2 正态分布

正态分布，也称为高斯分布，是一种连续概率分布，其 PDF 为：

f(x) = (1 / (σ√(2π))) * exp(-(x - μ)² / (2σ²))

其中：

* x 是随机变量
* μ 是均值
* σ 是标准差

正态分布具有钟形曲线形状，其中心在均值处。标准差决定了曲线的宽度，标准差越大，曲线越平坦。

### 2.3 正态分布混合模型的数学表示

正态分布混合模型（GMM）是一种概率模型，它假设数据是由多个正态分布的混合产生的。GMM 的数学表示为：

p(x) = Σᵢ=1^K wᵢ * fᵢ(x)

其中：

* x 是随机变量
* K 是正态分布的个数
* wᵢ 是第 i 个正态分布的权重，满足 Σᵢ=1^K wᵢ = 1
* fᵢ(x) 是第 i 个正态分布的 PDF

GMM 的权重表示每个正态分布对混合模型的贡献。权重和为 1，这意味着所有正态分布的贡献总和为 1。

# 3.1 模型参数估计

正态分布混合模型的参数估计是通过极大似然估计（MLE）方法进行的。MLE 方法的目标是找到一组参数，使模型的似然函数最大化。对于正态分布混合模型，似然函数可以表示为：

L(θ) = ∏_{i=1}^{N} ∑_{k=1}^{K} α_k f(x_i | μ_k, Σ_k)

其中：

* θ 是模型参数，包括混合系数 α_k、均值 μ_k 和协方差矩阵 Σ_k
* N 是数据集中的样本数量
* K 是混合成分的数量
* f(x_i | μ_k, Σ_k) 是第 i 个样本属于第 k 个混合成分的概率密度函数

MLE 方法通过使用优化算法（例如 EM 算法）来找到使似然函数最大化的参数值。EM 算法是一种迭代算法，它交替执行以下两个步骤：

1. **E 步（期望步骤）：**计算每个样本属于每个混合成分的后验概率。
2. **M 步（最大化步骤）：**使用后验概率更新模型参数，以最大化似然函数。

EM 算法通常从一组初始参数开始，并交替执行 E 步和 M 步，直到似然函数收敛到局部最大值。

### 3.2 模型评估

在估计了模型参数后，需要评估模型的性能。模型评估可以帮助我们确