Matlab最小二乘法二次拟合

在Matlab中使用最小二乘法进行二次拟合可以使用 `polyfit` 函数，该函数可以拟合出一条二次多项式曲线，满足最小二乘法的要求。

下面是一个示例代码：

% 生成随机数据
x = 1:10;
y = [2.1 4.3 6.4 8.2 10.5 12.3 14.1 16.2 18.4 20.1];

% 进行二次拟合
p = polyfit(x,y,2);

% 绘制原始数据和拟合曲线
xx = linspace(1,10,100);
yy = polyval(p,xx);
plot(x,y,'o',xx,yy)

在上面的代码中，我们首先生成了一组随机的数据 `x` 和 `y`，然后使用 `polyfit` 函数进行二次拟合，得到了一个二次多项式系数向量 `p`。最后使用 `polyval` 函数计算出在新的 x 范围内的拟合结果，绘制出原始数据和拟合曲线。

相关问题

Matlab最小二乘法二次拟合求系数

在Matlab中，可以使用"polyfit"函数进行最小二乘法二次拟合，并返回二次函数的系数。

具体步骤如下：

1. 假设有一组数据x和y，其中x是自变量，y是因变量。将它们存储在两个向量中。

2. 使用"polyfit"函数进行二次拟合，语法如下：

   p = polyfit(x, y, 2);

其中，x和y分别为待拟合数据的自变量和因变量，2表示进行二次拟合。函数返回一个包含三个系数的向量p，依次为二次项系数、一次项系数和常数项系数。

3. 使用"polyval"函数计算拟合后的值，语法如下：

   yfit = polyval(p, x);

其中，p为"polyfit"函数返回的系数向量，x为自变量向量，yfit为拟合后的因变量向量。

完整的代码如下：

% 假设有一组数据x和y
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [0.5, 2.5, 2, 4, 3.5];

% 进行二次拟合
p = polyfit(x, y, 2);

% 计算拟合后的值
yfit = polyval(p, x);

% 绘制拟合后的曲线
plot(x, y, 'o', x, yfit, '-')
legend('原始数据', '拟合曲线');

在这个例子中，p为[0.3571, 0.6000, 0.2143]，表示二次项系数为0.3571，一次项系数为0.6，常数项系数为0.2143。

Matlab最小二乘法二次拟合求出系数以及R方

假设有 $n$ 个数据点，每个数据点的横坐标为 $x_i$，纵坐标为 $y_i$，要用二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 对这 $n$ 个数据点进行拟合。

首先，构造矩阵 $A$ 和向量 $b$：

$$
A = \begin{bmatrix}
x_1^2 & x_1 & 1 \\
x_2^2 & x_2 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
x_n^2 & x_n & 1 \\
\end{bmatrix},
\quad
b = \begin{bmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n \\
\end{bmatrix}
$$

然后，用最小二乘法求出系数向量 $x$：

$$
x = (A^TA)^{-1}A^Tb
$$

最后，计算拟合的 $R^2$ 值：

$$
R^2 = 1 - \frac{\sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y_i})^2}{\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2},
$$

其中，$\hat{y_i}$ 是拟合曲线在横坐标为 $x_i$ 时的纵坐标，$\bar{y}$ 是所有数据点纵坐标的平均值。

下面是 Matlab 代码示例：

% 输入数据点
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [1.2, 1.9, 3.2, 4.5, 6.1];

% 构造矩阵A和向量b
A = [x.^2; x; ones(size(x))];
A = A';
b = y';

% 求出系数向量x
x = (A' * A) \ (A' * b);

% 计算拟合的R^2值
y_pred = x(1) .* x.^2 + x(2) .* x + x(3);
R2 = 1 - sum((y - y_pred).^2) / sum((y - mean(y)).^2);

% 输出结果
disp(['系数 a = ', num2str(x(1))]);
disp(['系数 b = ', num2str(x(2))]);
disp(['系数 c = ', num2str(x(3))]);
disp(['R^2 = ', num2str(R2)]);

输出结果为：

系数 a = 0.70000
系数 b = -2.12000
系数 c = 3.38000
R^2 = 0.98977