对称矩阵的奇异值函数是凸函数吗,一般矩阵的奇异值函数是凸函数吗,为什么?
时间: 2024-03-15 14:42:09 浏览: 17
对称矩阵的奇异值函数是凸函数,一般矩阵的奇异值函数不一定是凸函数。
首先,对称矩阵的奇异值函数是凸函数的证明如下:
设 $f(X)$ 表示对称矩阵 $X$ 的奇异值之和,即 $f(X) = \sum_{i=1}^n \sigma_i(X)$,其中 $\sigma_i(X)$ 表示 $X$ 的第 $i$ 大奇异值。显然,$f(X)$ 是关于 $X$ 的矩阵范数函数,即 $f(X) = \|X\|_*$,其中 $\|\cdot\|_*$ 表示矩阵的核范数。由于核范数是凸函数,因此 $f(X)$ 是凸函数。
对于一般矩阵的奇异值函数,其是否是凸函数取决于具体的函数形式。例如,$f(X) = \sigma_1(X)$,即矩阵 $X$ 的最大奇异值,是凸函数,因为它是关于 $X$ 的谱范数函数,而谱范数是凸函数。但是,$f(X) = \sigma_n(X)$,即矩阵 $X$ 的最小奇异值,不是凸函数,因为它不满足凸组合的定义。具体来说,设 $X_1$ 和 $X_2$ 是两个矩阵,$\sigma_n(X_1)>\sigma_n(X_2)$,则对于任意 $t \in [0,1]$,有
$$
\begin{aligned}
\sigma_n(tX_1+(1-t)X_2) &= \min_{\|u\|=1} (tX_1+(1-t)X_2)^\top uu^\top \\
&\leq t\min_{\|u\|=1} X_1^\top uu^\top + (1-t)\min_{\|u\|=1} X_2^\top uu^\top \\
&= t\sigma_n(X_1) + (1-t)\sigma_n(X_2).
\end{aligned}
$$
因此,$\sigma_n(X)$ 不是凸函数。同理,对于一般的奇异值函数 $f(X) = \sum_{i=1}^n g(\sigma_i(X))$,它是否是凸函数也取决于函数 $g$ 的具体形式。
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