matlab中利用复合simpson公式计算0到1下x^4*(1-x)^4/(1+x^2)的积分，节点数取N=2^n+1,n=1,2,3,……，20，画出积分精度与节点数N的图像

在MATLAB中，你可以使用`quadl`函数结合复合辛普森法则（Composite Simpson's Rule）来计算给定函数的定积分。对于0到1范围内的函数f(x) = x^4 * (1 - x)^4 / (1 + x^2)，我们可以按照以下步骤操作：

1. 定义函数f(x)：

function y = my_function(x)
    y = x.^4 .* (1 - x).^4 ./ (1 + x.^2);
end

2. 使用复合辛普森法计算积分，循环遍历N值并记录误差（实际积分值减去函数近似值）：

clear all; close all;
N_values = 2.^(1:20) + 1;
integral_errors = zeros(size(N_values));

for n = 1:length(N_values)
    N = N_values(n);
    [integral_approximation, error] = quadl(@my_function, 0, 1, 'AbsTol', 1e-15, 'RelTol', 1e-15, 'Method', 'spline');
    integral_errors(n) = abs(error);
    fprintf('For N = %d, Error: %.6f\n', N, error);
end

这里我们设置了较高的绝对误差和相对误差容限，以获得更精确的结果。

3. 绘制积分精度与节点数的关系图：

plot(log2(N_values), log2(integral_errors), 'o-')
xlabel('Log2(N)')
ylabel('Log2(Integral Error)')
title('Integral Precision vs Nodes for Composite Simpson''s Rule')
grid on

这个图形显示了随着节点数N增加，积分精度（即误差）是如何随对数尺度变化的。