用C++写1. 分别用高斯法和累加法实现求1到n的和的算法，分析它们的理论时间复杂度和实际测量的运行时间，并比较。 a) 高斯法 n*（n+1）/2 b) 逐个累加求和

高斯法和逐个累加法是求解1到n的和的两种不同算法。下面我将分别介绍这两种算法，然后讨论它们的理论时间复杂度和实际运行时间。

a) 高斯法：

高斯法利用了等差数列求和的公式来计算1到n的和。等差数列求和公式为：S = n * (n + 1) / 2。使用高斯法，只需要一次乘法和一次加法操作即可得到结果。因此，高斯法的理论时间复杂度为O(1)，即常数时间复杂度。

b) 逐个累加法：

逐个累加法就是简单地从1开始，逐个加上每一个数直到n。具体算法可以表示为：sum = 1; for (int i = 2; i <= n; ++i) sum += i;。在这个算法中，需要执行n-1次加法操作。因此，逐个累加法的理论时间复杂度为O(n)，即线性时间复杂度。

在实际运行时间方面，高斯法由于其算法复杂度低，即使在较大的n值下，其运行时间也几乎是固定的，而逐个累加法则随着n的增加，运行时间会线性增长。因此，在实际测量中，高斯法的运行时间通常远小于逐个累加法的运行时间。

实际测量运行时间通常需要编写具体的C++代码，并使用计时函数来测量算法执行的时间。例如，可以使用C++的<chrono>库中的函数来获取高精度的时间信息。

这里给出一个简单的C++代码示例，演示如何测量两种算法的运行时间（注意：以下代码仅为示例，实际测试时需要根据具体环境调整编译器优化设置和多次测试取平均值以减少误差）：

#include <iostream>
#include <chrono>

// 使用高斯法求1到n的和
long long gaussSum(int n) {
    return (long long)n * (n + 1) / 2;
}

// 使用逐个累加法求1到n的和
long long loopSum(int n) {
    long long sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        sum += i;
    }
    return sum;
}

int main() {
    int n = 100000; // 示例：n为100000，可以根据需要调整
    auto start = std::chrono::high_resolution_clock::now();
    long long sum = gaussSum(n);
    auto end = std::chrono::high_resolution_clock::now();
    std::chrono::duration<double> elapsed = end - start;
    std::cout << "高斯法运行时间: " << elapsed.count() << "秒" << std::endl;

    start = std::chrono::high_resolution_clock::now();
    sum = loopSum(n);
    end = std::chrono::high_resolution_clock::now();
    elapsed = end - start;
    std::cout << "逐个累加法运行时间: " << elapsed.count() << "秒" << std::endl;

    return 0;
}