n个人围成一圈，顺时针编号。从第1个人开始报数（从1到3报数），凡报到3的人退出圈子，问最后留下的是原来第几号的那位。

这个问题可以使用约瑟夫环（Josephus Problem）的思想来解决。假设共有n个人，从第一个人开始报数，每报到3的人出圈，我们可以依次推导出每轮出圈的人的编号：
第一轮：3, 6, 9, ..., 3k
第二轮：2, 5, 8, ..., 3k-1
第三轮：1, 4, 7, ..., 3k-1)+3) % n;
其中f(n)表示在n个人围成一圈，每报到3的人出圈的情况下最后留下的人的编号。
因此，在这个问题中，最后留下来的是原来第f(n)+1号的那位。

相关问题

编号为1…n的n个小朋友玩游戏，他们按编号顺时针围成一圈，从第一个人开始按逆时针次序报数，报到第m个人出列；然后再从下个人开始按顺时针次序报数，报到第k个人出列；再从下一个人开始按逆时针次序报数，报到

### 回答1：
这段字符串是一个故事，讲的是一个人编号为1...n的n个小朋友玩游戏，他们按编号顺时针围成一圈，从第一个人开始按逆时针顺序报数，报到第m个人出列；然后从下一个人开始按顺时针顺序报数，报到第k个人出列；再从下一个人开始按逆时针顺序报数，报到第k个人出列；以此类推，报到最后只剩下一个人为止。

### 回答2：
这道题需要用到一个经典的算法——约瑟夫问题。在这个问题中，编号为1…n的n个小朋友围成一个圈，从第一个小朋友开始报数，每次报到第m个小朋友出圈，然后从下一个小朋友开始重新报数，直到最后只剩下一个小朋友。这个问题的解法想必大家都知道，可以用链表模拟或者数学公式推导得出，这里不再赘述。

按照这个思路，我们可以分别模拟出三轮游戏过程。首先，从第一个小朋友开始按逆时针次序报数，报到第m个小朋友出列；接着，从下一个小朋友（也就是上一轮出列小朋友的下一个）开始按顺时针次序报数，报到第k个小朋友出列；最后，从下一个小朋友开始按逆时针次序报数，报到第m个小朋友出列。不断重复这个过程，直到只剩下一个小朋友。

具体实现方案：

1. 用一个数组存储小朋友的编号，按顺序排列；
2. 用一个变量start记录当前游戏开始位置，初始值为1；
3. 每轮游戏结束后更新start的值，即为上一轮出列小朋友的下一个；
4. 每次计算出列小朋友的位置，从数组中删除该元素。可以用队列实现删除的操作，也可以直接将该位置的值覆盖为一个标记值，表示该位置已经删除；
5. 重复以上步骤，直到只剩下一个元素为止。

需要注意的是，由于小朋友的编号是从1开始的，所以在计算出队列中要删除的元素时，需要将计数器的初始值设为1，而不是0。另外，数组下标从0开始计算，所以在删除元素时需要将其下标减1。具体实现细节可根据实际需要进行调整。

### 回答3：
这道题其实是经典的约瑟夫环问题。我们可以分步来解决这个问题：

1. 问题转化

首先，我们可以将编号从 0 开始，那么问题变为了：编号为 0 ~ n-1 的 n 个小朋友围成一圈玩游戏，从第一个人开始按逆时针次序报数，报到第 m 个人出列，然后再从下一个人开始按顺时针次序报数，报到第 k 个人出列，然后再从下一个人开始按逆时针次序报数，…… 直到剩下最后一个小朋友。

2. 找出规律

我们可以从简单的情况开始分析，比如 n = 1 或者 m = k = 1。当 n = 1 时，只有一个小朋友，直接出列。当 m = k = 1 时，每轮第一个小朋友出列，最后剩下的是最后一个小朋友。

接下来考虑一般情况，假设我们已经求出了 n-1 个小朋友时的解法，如何求 n 个小朋友的解法呢？

我们设 f(n, m, k) 表示编号为 0 ~ n-1 的 n 个小朋友按照题目要求进行游戏后最后剩下的小朋友编号，因为编号是从 0 开始的，所以最后输出结果要加上 1。

在第一轮游戏中，第一个出列的小朋友编号是 (m-1) mod n，那么第二轮游戏中从哪个小朋友开始呢？因为第一轮游戏中已经有一个小朋友出列，所以剩下的小朋友的编号变为 0 ~ n-2。我们希望第二轮游戏中的第一个小朋友编号仍然是 m，那么必须从第一个小朋友的下一个小朋友开始报数，也就是 (m-1+1) mod (n-1) = m mod (n-1)。同理，第三轮游戏中从哪个小朋友开始报数呢？因为第二轮游戏中已经有一个小朋友出列，所以剩下的小朋友的编号变为 0 ~ n-3。我们希望第三轮游戏中的第一个小朋友编号仍然是 k，那么必须从第一个小朋友的下 k-1 个小朋友开始报数，也就是 (m mod (n-1) + k-1) mod (n-2)。以此类推，直到只剩下最后一个小朋友，它的编号就是 f(n, m, k)。

3. 编写代码

我们可以用递归的方式实现这个问题：

int josephus(int n, int m, int k) {
// 递归结束条件
if (n == 1) return 0;
// 按规律计算出最后一个小朋友的编号
return (josephus(n - 1, m, k) + m % n + k - 1) % n;
}

最后，我们可以调用这个函数来求解问题：

int n = 10; // 小朋友的数量
int m = 3; // 第一轮游戏报数的间隔
int k = 4; // 第三轮游戏报数的间隔
int winner = josephus(n, m, k) + 1; // 加上 1 得到最后的获胜者编号
cout << "winner is " << winner << endl;

这样就可以得到最后的获胜者编号了。

编号为1…n的n个小朋友玩游戏，他们按编号顺时针围成一圈，按顺时针次序报数，从第1个人报到第m个人出列；然后再从下个人开始报到第m+1个人出列；再从下一个人开始报到第m+2个人出列……以此类推不断循环

### 回答1：
这是一个经典的约瑟夫问题。假设有n个小朋友，按照顺时针方向排列，从第一个小朋友开始报数，报到第m个小朋友出列，然后从下一个小朋友开始重新报数，报到第m+1个小朋友出列，以此类推，直到只剩下最后一个小朋友。

这个问题可以用递归或者数学公式来解决。递归的思路是，假设f(n,m)表示n个小朋友中，每次报数到第m个小朋友出列的最后一个小朋友的编号，那么f(n,m)可以通过f(n-1,m)得到，因为每次出列一个小朋友后，剩下的小朋友数量就变成了n-1，而报数的起点也会变化。具体实现可以参考以下代码：

int josephus(int n, int m) {
if (n == 1) {
return 0;
} else {
return (josephus(n - 1, m) + m) % n;
}
}

另一种解法是使用数学公式，可以得到f(n,m)的递推公式为：

f(n,m) = (f(n-1,m) + m) % n

其中，%表示取模运算。这个公式的意义是，假设f(n-1,m)表示n-1个小朋友中，每次报数到第m个小朋友出列的最后一个小朋友的编号，那么在n个小朋友中，每次报数到第m个小朋友出列的最后一个小朋友的编号就是(f(n-1,m) + m) % n。具体实现可以参考以下代码：

int josephus(int n, int m) {
int ans = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
ans = (ans + m) % i;
}
return ans;
}

这个算法的时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(1)。

### 回答2：
这个游戏被称为“约瑟夫问题”，据说起源于古罗马时期。这个问题看似简单，实际上需要了解到循环链表和递归两个概念才能解决。

循环链表是一个首尾相连的链表，它的最后一个节点指向第一个节点，形成了一个环。在这个环上，我们可以按照顺时针或逆时针的方向进行遍历和访问。

递归是一种算法，可以通过调用自身来解决问题。在约瑟夫问题中，我们可以将它转化为一种递归思路。

现在，我们来分步解决这个问题：

1. 首先，我们需要构建一个循环链表，按照顺时针的方向将所有小朋友连接起来。

2. 接下来，我们需要编写一个函数，模拟每一轮游戏的过程。我们将函数命名为“Josephus”，它有三个参数：链表的头节点、当前轮数、出圈的编号。

3. 在函数中，我们需要根据当前轮数计算出第一个出圈的小朋友的编号，然后按照顺时针方向找到这个小朋友，将他从链表中删除。

4. 接着，我们需要将当前节点指向这个小朋友的下一个节点，然后再次调用“Josephus”函数，传入新的头节点、下一轮次数和出圈编号。这个递归过程会一直进行，直到链表中只剩下一个小朋友为止。

5. 最后，我们可以输出这个小朋友的编号，作为游戏的胜利者。

总的来说，约瑟夫问题需要一些算法思维和代码实现能力，但它其实是很有趣的一个问题。在实际编写代码的过程中，我们可以不断地修改和调试，逐步完善这个程序。

### 回答3：
这道题可以用模拟的方法进行解决。首先我们可以把这些小朋友看成是一个环形链表，每个小朋友都连接着前一个和后一个，最后一个小朋友则连接着第一个小朋友。

我们首先假设一开始所有小朋友都还在围成的这个环里面，然后我们从第一个小朋友开始进行循环：

1. 我们按照顺时针的顺序报数，如果报数为m，则这个小朋友就出列；否则他继续在圈内呆着。

2. 然后再从这个小朋友的下一个小朋友开始，按顺时针的顺序重新开始报数。如果报数为m-1，则他出列；否则他继续在圈内呆着。

3. 然后再从这个小朋友的下一个小朋友开始，继续按顺时针的顺序报数。这一次因为已经出列了两个小朋友，所以要报到第m-2个小朋友才可以出列。

4. 以此类推，直到所有小朋友都出列为止。

需要注意的是，在每次开始新一轮的报数之前，要先把当前出列的小朋友的前一个小朋友和后一个小朋友连接起来，形成一个新的环，然后再从下一个小朋友开始报数。

至于时间复杂度，可以看到我们每次要遍历完整个链表，所以时间复杂度是O(nm)。而空间复杂度则是O(n)，因为我们需要用一个链表来存储这些小朋友。