$$T=\frac{1}{3}(3+T)+\frac{1}{3}(5+T)+\frac{1}{3}(7+T)$$这是什么意思

这个式子是一个连乘式，表示将 $T$ 分别乘以 $\frac{1}{3}(3)$、$\frac{1}{3}(5)$、$\frac{1}{3}(7)$，最后将它们的积作为最终结果。可以简化为：$$T=\frac{1}{3}(3\cdot5\cdot7)T=\frac{35}{3}T$$这意味着，将 $T$ 分别乘以 $\frac{1}{3}(3)$、$\frac{1}{3}(5)$、$\frac{1}{3}(7)$，等价于将 $T$ 乘以 $\frac{35}{3}$。

相关问题

一系统微分方程为 3y''(t)+ 4y'(t) +y(t)= x' '(t)+ 5x(t) ，求该系统的频率响 应

首先，我们需要将系统微分方程转化为频域表达式。将其进行拉普拉斯变换，得到：

$$(3s^2+4s+1)Y(s) = (s^2+5)X(s)$$

其中，$Y(s)$和$X(s)$分别是系统的输出和输入的拉普拉斯变换。

系统的传递函数$H(s)$为：

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{s^2+5}{3s^2+4s+1}$$

将传递函数化简，得到：

$$H(s) = \frac{1}{3}\cdot\frac{s^2+5}{(s+\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{2}}{3}i)(s+\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{2}}{3}i)}$$

其中，$\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{2}}{3}i$和$\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{2}}{3}i$是系统的极点。系统的频率响应为：

$$H(j\omega) = \frac{1}{3}\cdot\frac{\omega^2+5}{(\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{2}}{3}i-\omega)(\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{2}}{3}i-\omega)}$$

因此，系统的频率响应是一个二阶低通滤波器，截止频率为$\frac{2}{3}$。

给定系统方程: r"(t)+ 5r*(t) +6r(t)=e'(t) + 3e(t) 若激励信号e(t)和初始状态分别为: . e(t)= u(t),r(0)= 1,r'(0)=2 (1) 试求系统的零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应以及完全响应。

首先，对于该系统方程，可以写出它的特征方程：

$$
\lambda^2 + 5\lambda + 6 = 0
$$

解得特征根为 $\lambda_1=-2$ 和 $\lambda_2=-3$，因此系统的零输入响应为：

$$
r_{zi}(t) = c_1e^{-2t} + c_2e^{-3t}
$$

其中 $c_1$ 和 $c_2$ 为待定系数，由初始状态 $r(0)=1$ 和 $r'(0)=2$ 可以得到：

$$
c_1 = \frac{4}{5}, \quad c_2 = \frac{1}{5}
$$

因此，系统的零输入响应为：

$$
r_{zi}(t) = \frac{4}{5}e^{-2t} + \frac{1}{5}e^{-3t}
$$

接下来，我们考虑系统的零状态响应。由于激励信号为 $e(t)=u(t)$，因此零状态响应可以写为：

$$
r_{zs}(t) = K
$$

其中 $K$ 为待定系数，可以通过初始状态 $r(0)=1$ 得到 $K=1$。因此，系统的零状态响应为：

$$
r_{zs}(t) = 1
$$

接下来，我们考虑自由响应。将激励信号置为零，即 $e(t)=0$，系统方程变为：

$$
r''(t) + 5r'(t) + 6r(t) = 0
$$

特征方程为 $\lambda^2 + 5\lambda + 6 = 0$，解得特征根为 $\lambda_1=-2$ 和 $\lambda_2=-3$，因此自由响应为：

$$
r_{zf}(t) = c_3e^{-2t} + c_4e^{-3t}
$$

其中 $c_3$ 和 $c_4$ 为待定系数，可以由初始状态 $r(0)=1$ 和 $r'(0)=2$ 得到：

$$
c_3 = \frac{2}{5}, \quad c_4 = \frac{3}{5}
$$

因此，系统的自由响应为：

$$
r_{zf}(t) = \frac{2}{5}e^{-2t} + \frac{3}{5}e^{-3t}
$$

接下来，我们考虑强迫响应。将初始状态置为零，即 $r(0)=0$ 和 $r'(0)=0$，则强迫响应为：

$$
r_{zp}(t) = \int_{0}^{t} e'(\tau)h(t-\tau)d\tau
$$

其中 $h(t)$ 为系统的单位冲激响应，可以通过求解 $h(t)$ 的微分方程得到：

$$
h''(t) + 5h'(t) + 6h(t) = \delta(t)
$$

其中 $\delta(t)$ 为单位冲激函数。特征方程为 $\lambda^2 + 5\lambda + 6 = 0$，解得特征根为 $\lambda_1=-2$ 和 $\lambda_2=-3$，因此 $h(t)$ 可以写为：

$$
h(t) = c_5e^{-2t} + c_6e^{-3t}
$$

其中 $c_5$ 和 $c_6$ 为待定系数，可以通过代入初始状态 $h(0)=0$ 和 $h'(0)=1$ 得到：

$$
c_5 = -\frac{1}{3}, \quad c_6 = \frac{1}{3}
$$

因此，$h(t)$ 可以写为：

$$
h(t) = -\frac{1}{3}e^{-2t} + \frac{1}{3}e^{-3t}
$$

代入强迫响应公式，可以得到：

$$
r_{zp}(t) = \int_{0}^{t} e'(\tau)h(t-\tau)d\tau = \int_{0}^{t} u'(\tau)h(t-\tau)d\tau = h(t) - h(0) = -\frac{1}{3}e^{-2t} + \frac{1}{3}e^{-3t} + \frac{1}{3}
$$

因此，系统的强迫响应为：

$$
r_{zp}(t) = -\frac{1}{3}e^{-2t} + \frac{1}{3}e^{-3t} + \frac{1}{3}
$$

最后，我们可以求得系统的完全响应：

$$
r(t) = r_{zi}(t) + r_{zs}(t) + r_{zf}(t) + r_{zp}(t) = \frac{4}{5}e^{-2t} + \frac{1}{5}e^{-3t} + 1 + \frac{2}{5}e^{-2t} + \frac{3}{5}e^{-3t} - \frac{1}{3}e^{-2t} + \frac{1}{3}e^{-3t} + \frac{1}{3}
$$

化简后得到：

$$
r(t) = \frac{7}{3} - \frac{1}{15}e^{-2t} - \frac{4}{15}e^{-3t}
$$

因此，系统的完全响应为：

$$
r(t) = \frac{7}{3} - \frac{1}{15}e^{-2t} - \frac{4}{15}e^{-3t}
$$

综上所述，系统的零输入响应为 $\frac{4}{5}e^{-2t} + \frac{1}{5}e^{-3t}$，零状态响应为 $1$，自由响应为 $\frac{2}{5}e^{-2t} + \frac{3}{5}e^{-3t}$，强迫响应为 $-\frac{1}{3}e^{-2t} + \frac{1}{3}e^{-3t} + \frac{1}{3}$，完全响应为 $\frac{7}{3} - \frac{1}{15}e^{-2t} - \frac{4}{15}e^{-3t}$。