求G(s)=(2s^2+3s+5)/(s^3+2s^2+4s+6)的拉氏反变换

首先对分子和分母进行因式分解：

分子：$2s^2+3s+5$

分母：$s^3+2s^2+4s+6=(s+1)^3+2$

因此，我们需要求解以下拉普拉斯变换的反变换：

$$\frac{2s^2+3s+5}{(s+1)^3+2}$$

我们可以将分子拆分为两部分：

$$\frac{2s^2+3s+5}{(s+1)^3+2}=\frac{2}{(s+1)^3+2}s^2+\frac{3}{(s+1)^3+2}s+\frac{5}{(s+1)^3+2}$$

接下来，我们需要查找拉普拉斯变换表格，找到对应的反变换公式：

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{(s+1)^3+2}s^2\right\}=e^{-t}\left(\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}t+2\right)$$

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3}{(s+1)^3+2}s\right\}=e^{-t}\left(\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}\right)$$

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{5}{(s+1)^3+2}\right\}=e^{-t}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{5}{2\sqrt{2}}\right)$$

因此，原函数的拉氏反变换为：

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2s^2+3s+5}{(s+1)^3+2}\right\}=e^{-t}\left(\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}t+2\right)+e^{-t}\left(\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}\right)+e^{-t}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{5}{2\sqrt{2}}\right)$$

化简后可得：

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2s^2+3s+5}{(s+1)^3+2}\right\}=e^{-t}\left(\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{2}t+\frac{5}{\sqrt{2}}\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{9}{2}\right)$$