1/（√(Ax^2+Bx+C))dx 的积分怎么求

这是一个常见的形式为 $1/\sqrt{ax^2+bx+c}$ 的积分，我们可以通过换元法来解决。

首先，我们需要完成平方部分的配方。我们将 $ax^2+bx+c$ 写成 $a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}$ 的形式。这样，我们就可以将原式写成：

$$\int\frac{1}{\sqrt{a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}}}dx$$

接下来，我们进行变量代换，令 $u=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}$。这样，我们有：

$$du=2a(x+\frac{b}{2a})dx$$

将 $dx$ 替换成 $\frac{du}{2a(x+\frac{b}{2a})}$，并将 $u$ 替换回原式，得到：

$$\int\frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{2a(x+\frac{b}{2a})}$$

整理一下，得到：

$$\frac{1}{\sqrt{a}}\int\frac{1}{x+\frac{b}{2a}}\cdot\frac{du}{\sqrt{u}}$$

接下来，我们可以使用 $\ln$ 函数来求出积分的解。具体来说，我们有：

$$\int\frac{1}{x+\frac{b}{2a}}\cdot\frac{du}{\sqrt{u}}=\frac{2\sqrt{u}}{b+2ax}+C$$

将 $u$ 替换回原式，并整理一下，得到最终的解：

$$\int\frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx=\frac{1}{\sqrt{a}}\ln\left|\frac{2\sqrt{a} \sqrt{ax^2+bx+c}+bx+2a\sqrt{a}x}{2\sqrt{a}\sqrt{ax^2+bx+c}+bx}\right|+C$$

其中 $C$ 为积分常数。