$f(a_\epsilon) < m + \epsilon$什么意思

在证明中，$m=\inf_{a\in A} f(a)$ 表示 $A$ 的下确界，即 $m$ 是 $A$ 中最小的元素。$f(a_\epsilon)$ 表示函数 $f$ 在 $A$ 中找到的一个元素 $a_\epsilon$ 的函数值。因为 $m$ 是 $A$ 的下确界，所以对于任意正数 $\epsilon$，存在一个元素 $a_\epsilon$，满足 $f(a_\epsilon) < m + \epsilon$。这是因为如果 $f(a_\epsilon) \geq m + \epsilon$ 对于所有的 $a_\epsilon$ 都成立，则 $m + \epsilon$ 就是 $f$ 在 $A$ 中的一个更小的下界，这与 $m$ 是下确界的定义相矛盾。因此，我们可以找到一个 $a_\epsilon$，使得 $f(a_\epsilon) < m + \epsilon$。

相关问题

设f∈C[a,b]，证明 f[a,b]=[m,M]

首先，我们需要证明 $f[a,b]\subseteq[m,M]$ 和 $[m,M]\subseteq f[a,b]$ 。

证明 $f[a,b]\subseteq[m,M]$ ：

由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，所以 $f$ 在 $[a,b]$ 上一定存在最小值 $m$ 和最大值 $M$。因此，对于 $f$ 在 $[a,b]$ 上的任意一个值 $y$，都有 $m\leq f(x) \leq M$，其中 $x\in[a,b]$。因此，$f[a,b]\subseteq[m,M]$。

证明 $[m,M]\subseteq f[a,b]$ ：

我们需要证明，对于 $[m,M]$ 中的任意一个数 $y$，都存在 $[a,b]$ 中的一个点 $x$，使得 $f(x)=y$。

由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，所以对于任意一个 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$。由于 $m$ 和 $M$ 都是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的极值，因此对于任意的 $\epsilon>0$，都存在 $x_1,x_2\in[a,b]$，使得 $f(x_1)<m+\epsilon$，$f(x_2)>M-\epsilon$。因此，对于任意的 $y\in[m,M]$，都存在一个 $\epsilon>0$，使得 $y\in(f(x_1),f(x_2))$。由于 $f$ 在 $[x_1,x_2]$ 上连续，因此根据介值定理，存在 $x\in[x_1,x_2]$，使得 $f(x)=y$。因此，$[m,M]\subseteq f[a,b]$。

综上所述，$f[a,b]=[m,M]$。

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <time.h> #define NP 10000 // 种群规模 #define F 0.7 // 缩放因子 #define CR 0.5 // 交叉概率 #define MAX_GENERATION 1000 // 最大迭代次数 #define EPSILON 1e-6 // 收敛精度 double randDouble(double a, double b) { return a + (b - a) * rand() / (RAND_MAX + 1.0); } double z(double x, double y) { return -20 * exp(-0.2 * sqrt(0.5 * (x * x + y * y))) - exp(0.5 * (cos(2 * M_PI * x) + cos(2 * M_PI * y))) + exp(1); } //初始化种群 void init(double (*pop)[2]) { for (int i = 0; i < NP; ++i) { pop[i][0] = randDouble(-5, 5); pop[i][1] = randDouble(-5, 5); } } //变异 void mutate(double (*pop)[2], int r, double (*trial)[2]) { int a, b, c; do { a = rand() % NP; } while (a == r); do { b = rand() % NP; } while (b == r || b == a); do { c = rand() % NP; } while (c == r || c == a || c == b); for (int j = 0; j < 2; ++j) { trial[r][j] = pop[a][j] + F * (pop[b][j] - pop[c][j]); } } //交叉 void crossover(double (*pop)[2], int r, double (*trial)[2]) { int j_rand = rand() % 2; for (int j = 0; j < 2; ++j) { if (randDouble(0, 1) < CR || j == j_rand) { trial[r][j] = pop[r][j]; } } } //选择 void select(double (*pop)[2], double (*trial)[2]) { for (int i = 0; i < NP; ++i) { double f = z(trial[i][0], trial[i][1]); double f_old = z(pop[i][0], pop[i][1]); if (f < f_old) { pop[i][0] = trial[i][0]; pop[i][1] = trial[i][1]; } } } int main() { srand(time(NULL)); //二维 double pop[NP][2]; double trial[NP][2]; init(pop); for (int gen = 0; gen < MAX_GENERATION; ++gen) { for (int i = 0; i < NP; ++i) { mutate(pop, i, trial); crossover(pop, i, trial); } select(pop, trial); double f_best = z(pop[0][0], pop[0][1]); for (int i = 1; i < NP; ++i) { double f = z(pop[i][0], pop[i][1]); if (f < f_best) { f_best = f; } } printf("generation: %d, best: %.6f\n", gen, f_best); } }详细解释这段代码

这段代码实现了查分进化算法来求解函数z(i,j)的最小值。下面逐行进行解释：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <time.h>

#define NP 10000 // 种群规模
#define F 0.7 // 缩放因子
#define CR 0.5 // 交叉概率
#define MAX_GENERATION 1000 // 最大迭代次数
#define EPSILON 1e-6 // 收敛精度

定义了常量NP表示种群规模，F表示缩放因子，CR表示交叉概率，MAX_GENERATION表示最大迭代次数，EPSILON表示收敛精度。

double randDouble(double a, double b) {
    return a + (b - a) * rand() / (RAND_MAX + 1.0);
}

定义了一个函数randDouble，用于生成[a,b]范围内的随机实数。

double z(double x, double y) {
    return -20 * exp(-0.2 * sqrt(0.5 * (x * x + y * y))) - exp(0.5 * (cos(2 * M_PI * x) + cos(2 * M_PI * y))) + exp(1);
}

定义了目标函数z(i,j)，这里使用了数学库中的exp函数和cos函数。

void init(double (*pop)[2]) {
    for (int i = 0; i < NP; ++i) {
        pop[i][0] = randDouble(-5, 5);
        pop[i][1] = randDouble(-5, 5);
    }
}

定义了一个初始化函数init，用于随机生成种群中每个个体的x和y取值。

void mutate(double (*pop)[2], int r, double (*trial)[2]) {
    int a, b, c;
    do {
        a = rand() % NP;
    } while (a == r);
    do {
        b = rand() % NP;
    } while (b == r || b == a);
    do {
        c = rand() % NP;
    } while (c == r || c == a || c == b);
 
    for (int j = 0; j < 2; ++j) {
        trial[r][j] = pop[a][j] + F * (pop[b][j] - pop[c][j]);
    }
}

定义了一个变异函数mutate，用于对个体进行变异操作。在变异操作中，随机选择三个不同的个体a、b、c，然后通过公式trial[r][j] = pop[a][j] + F * (pop[b][j] - pop[c][j]) 计算出个体r的新取值trial[r][j]。

void crossover(double (*pop)[2], int r, double (*trial)[2]) {
    int j_rand = rand() % 2;
    for (int j = 0; j < 2; ++j) {
        if (randDouble(0, 1) < CR || j == j_rand) {
            trial[r][j] = pop[r][j];
        }
    }
}

定义了一个交叉函数crossover，用于对个体进行交叉操作。在交叉操作中，随机选择一个维度j_rand，然后对于每个维度j，以交叉概率CR的概率将个体的该维度值替换为新个体的该维度值。

void select(double (*pop)[2], double (*trial)[2]) {
    for (int i = 0; i < NP; ++i) {
        double f = z(trial[i][0], trial[i][1]);
        double f_old = z(pop[i][0], pop[i][1]);
        if (f < f_old) {
            pop[i][0] = trial[i][0];
            pop[i][1] = trial[i][1];
        }
    }
}

定义了一个选择函数select，用于根据变异和交叉后的结果，更新种群中每个个体的x和y取值。具体地，对于每个个体i，如果变异后的新个体的适应度值f小于原个体的适应度值f_old，则将该新个体的x和y取值替换原个体的x和y取值。

int main() {
    srand(time(NULL));
    double pop[NP][2];
    double trial[NP][2];
    init(pop);
 
    for (int gen = 0; gen < MAX_GENERATION; ++gen) {
        for (int i = 0; i < NP; ++i) {
            mutate(pop, i, trial);
            crossover(pop, i, trial);
        }
        select(pop, trial);
 
        double f_best = z(pop[0][0], pop[0][1]);
        for (int i = 1; i < NP; ++i) {
            double f = z(pop[i][0], pop[i][1]);
            if (f < f_best) {
                f_best = f;
            }
        }
        printf("generation: %d, best: %.6f\n", gen, f_best);
    }
}

在main函数中，首先使用srand函数初始化随机种子。然后定义了两个二维数组pop和trial，分别表示种群和变异后的种群。接着调用init函数初始化种群。

在进入迭代循环之后，对于每个个体i，先通过mutate函数进行变异操作，然后通过crossover函数进行交叉操作。接着调用select函数选择优秀个体。

在每次迭代之后，通过遍历种群中每个个体，计算出当前最优个体的适应度值f_best，并输出当前迭代次数gen和当前最优适应度值f_best。当达到最大迭代次数MAX_GENERATION时，停止迭代，并输出最终结果。

总之，这段代码实现了查分进化算法来求解函数z(i,j)的最小值。经过不断迭代，可以找到函数z(i,j)的最小值。