python用二叉树定价雪球期权并计算希腊字母实例

好的，那么下面给出一个用Python实现二叉树定价雪球期权并计算希腊字母的简单示例。

假设现有一只股票，当前价格为 $S_0=100$，期权敲定价格为 $K=105$，期权到期时间为 $T=1$ 年，无风险利率为 $r=0.05$，股票波动率为 $\sigma=0.2$。现在考虑一个雪球期权，假设该期权有5个观察日，每个观察日的敲定价格分别为 $K_1=110, K_2=115, K_3=120, K_4=125, K_5=130$。

首先，我们需要根据二叉树模型计算期权价格。假设每个观察日的时间间隔为 $dt=T/5=0.2$ 年，每个时间间隔内股票价格上涨或下跌的比率为 $u=e^{\sigma\sqrt{dt}}$ 和 $d=e^{-\sigma\sqrt{dt}}$，则可以计算出每个节点的期望价值和概率。具体而言，假设上涨概率为 $p$，则下跌概率为 $1-p$，期望价值为 $E=\max(S-K_i,0)$。使用递归算法可以计算出每个节点的期望价值和概率，然后逐层向上计算期权价格。

实现代码如下所示：

import math

def binomial_tree(S, K, r, sigma, T, n, Ks):
    dt = T / n
    u = math.exp(sigma * math.sqrt(dt))
    d = 1 / u
    p = (math.exp(r * dt) - d) / (u - d)
    prices = [[0 for j in range(i+1)] for i in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        for j in range(i+1):
            prices[i][j] = S * (u ** j) * (d ** (i-j))
    values = [[0 for j in range(i+1)] for i in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        for j in range(i+1):
            if i == n:
                values[i][j] = max(prices[i][j] - Ks[-1], 0)
            else:
                values[i][j] = math.exp(-r * dt) * (p * values[i+1][j] + (1-p) * values[i+1][j+1])
                if i * dt in Ks:
                    k = Ks.index(i * dt)
                    values[i][j] = max(values[i][j], max(prices[i][j]-Ks[k], 0))
    return values[0][0]

其中，S、K、r、sigma、T、n、Ks 分别表示股票当前价格、期权敲定价格、无风险利率、股票波动率、期权到期时间、二叉树层数和每个观察日的敲定价格。函数 binomial_tree 返回的是期权价格。

接下来，我们可以计算希腊字母。假设我们想计算 Delta，即股票价格变动对期权价格的影响，可以使用数值微分法。具体而言，我们可以微调股票价格 $S$，计算相应的期权价格差异，然后除以微调量，得到 Delta。实现代码如下所示：

def delta(S, K, r, sigma, T, n, Ks, h=0.001):
    p0 = binomial_tree(S, K, r, sigma, T, n, Ks)
    p1 = binomial_tree(S+h, K, r, sigma, T, n, Ks)
    return (p1-p0) / h

其中，h 表示微调量，可以自行设定。函数 delta 返回的是 Delta。

类似地，我们可以计算其他希腊字母，比如 Gamma、Vega、Theta等。具体实现时，只需要微调股票价格和波动率即可。