MATLAB实现最小二乘法拟合圆

在MATLAB中，最小二乘法是一种常用的数据拟合技术，尤其适用于线性和非线性模型，包括拟合圆。假设你有一个二维数据集，想通过一组点(x, y)找到一个圆的标准方程 \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)，其中(h, k)是圆心坐标，r是半径。你可以按照以下步骤使用最小二乘法来估计这些参数：

1. 准备数据：创建一个包含(x, y)坐标的矩阵或向量。

x = ...; % 输入数据的x坐标
y = ...; % 输入数据的y坐标
data_points = [x, y]; % 合并x和y形成二维数据点

2. 定义模型：圆的方程可以转换成两个方程，即 \( x^2 + y^2 = r^2 \) 和 \( xh + yk = hr + kr \)。这可以表示为矩阵形式：\( A\cdot c = b \)，其中 \( A \) 是设计矩阵，\( c \) 是未知参数向量，\( b \) 是目标函数值。

A = [ones(size(x)), x.^2, y.^2; x, y, ones(size(y))];
c = [h; k; r];
b = sum(data_points(:, 1).^2, 2); % 计算每个点的x^2总和作为目标函数值

3. 求解参数：使用`lsqlin`或`lsqnonlin`函数求解最小二乘解。如果数据满足线性条件，则`lsqlin`更合适；如果数据是非线性的，则需要迭代优化。

% 使用lsqlin
[c_hat, ~, exitflag] = lsqlin(A, b, [], [], [], [], [], c);

% 或者使用lsqnonlin（对于非线性情况）
if exitflag > 0
    c_hat = lsqnonlin(@(c) norm(A*c - b), c);
end

4. 检查结果：检查`exitflag`以确保求解成功，并查看估计出的圆参数。

h_hat, k_hat, r_hat = c_hat(1), c_hat(2), c_hat(3);
disp(['估计的圆心: (' num2str(h_hat) ', ' num2str(k_hat) '), 半径: ' num2str(r_hat)]);