设G=(p,q)是一个具有f个面,k个分支的平面图,证明：p-q+f=k+1.

这是欧拉公式，也称为欧拉定理。它可以通过对图进行归纳证明。

当图中只有一个面时，即为一个环，此时p=2，q=1，f=1，k=2，代入公式得到2-1+1=2+1，等式成立。

现在假设对于任意一个具有n个点的平面图，欧拉公式都成立。现在考虑一个具有n + 1个点的平面图G。

在G中选择一条边e，将G分成两个部分，称为G1和G2。分别记它们的顶点数为p1和p2，边数为q1和q2，面数为f1和f2，分支数为k1和k2。

根据归纳假设，G1和G2都满足欧拉公式，即p1-q1+f1=k1+1，p2-q2+f2=k2+1。

将G1和G2重合在边e上，它们共享边e和一个面f。这样，我们得到了一个具有n个点的平面图，记作H。

由于G1和G2共享面f，因此f1+f2-1=f。同时，G1和G2中除去边e之外的所有边在H中恰好出现一次，因此q=q1+q2-1。同样地，除去边e之外的所有顶点都在H中出现一次，因此p=p1+p2-1。最后，由于e是唯一的一条边，因此k=k1+k2。

将这些结果代入欧拉公式中，得到：

p-q+f=k+1

(p1+p2-1)-(q1+q2-1)+f1+f2-1=k1+k2+1

p1-q1+f1+k1+p2-q2+f2+k2+1=k1+k2+1

根据归纳假设，p1-q1+f1=k1+1，p2-q2+f2=k2+1。将它们代入上式中，得到：

p-q+f=k+1

因此，欧拉公式对于任意一个具有n+1个点的平面图都成立。由归纳原理，欧拉公式对于任意一个具有f个面、k个分支的平面图都成立。

相关问题

将图的顶点分成q个不相交的连通分支 python

以下是一个简单的 Python 代码示例，演示如何将给定的图的顶点分成q个不相交的连通分支：

# 导入必要的库
import networkx as nx

# 创建一个示例图
G = nx.Graph()
G.add_edges_from([(1, 2), (2, 3), (4, 5), (5, 6), (7, 8)])

# 将图的顶点分成q个不相交的连通分支
q = 3
components = list(nx.connected_components(G))
if len(components) < q:
    print("该图的连通分支数量小于q，请重新输入q的值")
else:
    for i in range(q):
        print("第{}个连通分支的顶点集合为：{}".format(i+1, components[i]))

输出结果将显示给定图的q个不相交的连通分支中每个连通分支的顶点集合。请注意，如果给定图的连通分支数量小于q，则需要重新输入q的值。

使用eredis:q查询如果没查询到和查询到执行不同分支，用Erlang代码写一个

好的，以下是使用 eredis:q 查询 Redis 数据库并根据查询结果执行不同分支的 Erlang 代码示例：

-module(redis_query).
-export([query/1]).

query(Key) ->
    case eredis:q(["GET", Key]) of
        {ok, Value} ->
            case Value of
                undefined ->
                    io:format("Key not found.~n");
                _ ->
                    io:format("Value: ~p~n", [Value])
            end;
        {error, Reason} ->
            io:format("Error: ~p~n", [Reason])
    end.

在这个例子中，我们定义了一个名为 redis_query 的模块，其中包含一个 query 函数，该函数接受一个 Redis 键值作为参数。

在 query 函数中，我们使用 eredis:q 函数来查询 Redis 数据库中的值。如果查询成功，我们将检查返回的值是否为 undefined。如果是 undefined，我们将输出“Key not found.”；否则，我们将输出查询到的值。如果查询失败，我们将输出错误信息。

需要注意的是，在 Erlang 中，我们可以使用 case 语句来根据查询结果执行不同分支。如果 eredis:q 函数返回 {ok, Value}，表示查询成功，我们将进入 case Value of 分支，检查查询到的值是否为 undefined。如果 eredis:q 函数返回 {error, Reason}，表示查询失败，我们将进入 {error, Reason} 分支，输出错误信息。

另外，需要在运行代码之前确保已经成功连接 Redis 数据库。可以使用 eredis:start_link 函数来启动 eredis 应用，并使用 eredis:connect 函数来连接 Redis 数据库。