分段三次埃尔米特插值函数

分段三次埃尔米特插值函数是一种插值方法，用于在一些给定数据点之间进行插值。它是通过在每个数据点处使用两个导数来定义每个小区间的插值函数的。具体来说，对于给定的数据点 $(x_i, y_i)$，以及对应的导数 $y'_i$，我们可以定义区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 上的插值函数为：

$$
H_i(x) = (1 + 2t_i(x-x_i)) \left(\frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}}\right)^2 y_i + (1 + 2t_{i+1}(x_{i+1}-x))\left(\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}\right)^2 y_{i+1} + (x-x_i)\left(\frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}}\right)^2 y'_i + (x_{i+1}-x)\left(\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}\right)^2 y'_{i+1}
$$

其中 $t_i$ 和 $t_{i+1}$ 是分别在 $x_i$ 和 $x_{i+1}$ 处计算的缩放因子，它们的计算方式如下：

$$
t_i = \begin{cases}
0 & \text{if } y'_i = 0 \\
\frac{y'_{i-1}}{2y'_i} & \text{if } y'_i y'_{i-1} > 0 \\
1 & \text{if } y'_i y'_{i-1} \leq 0
\end{cases}
$$

$$
t_{i+1} = \begin{cases}
0 & \text{if } y'_{i+1} = 0 \\
\frac{y'_i}{2y'_{i+1}} & \text{if } y'_i y'_{i+1} > 0 \\
1 & \text{if } y'_i y'_{i+1} \leq 0
\end{cases}
$$

利用这些区间插值函数，我们可以在给定的数据点之间进行插值。需要注意的是，由于这是一个分段函数，因此在 $x_i$ 和 $x_{i+1}$ 之间的函数值的连续性可能不够好，需要根据具体的情况进行调整。