编写一个函数程序，其输入是一个数字n，生成一个随机n×n矩阵a和一个随机向量b，求解线性系统Ax = b，并计算残差r = Ax−b的范数，并输出该数字作为误差e。为n = 5、10、50、100、500、1000、.. ..绘制e与n的对数-对数图(参见help loglog)

### 回答1：
以下是编写一个函数来生成随机n x n矩阵a和随机向量b，求解线性系统Ax = b，并计算残差r = Ax−b的范数，并输出该数字作为误差e的示例代码：

import numpy as np

def linear_system_error(n):
    # 生成随机n x n矩阵a和随机向量b
    a = np.random.rand(n, n)
    b = np.random.rand(n)
    
    # 求解线性系统Ax = b
    x = np.linalg.solve(a, b)
    
    # 计算残差r = Ax−b的范数
    r = np.linalg.norm(np.dot(a, x) - b)
    
    # 输出误差e
    print("Error:", r)

# 测试函数
linear_system_error(5)
linear_system_error(10)
linear_system_error(50)
linear_system_error(100)
linear_system_error(500)
linear_system_error(1000)

要绘制e与n的对数-对数图，可以使用Matplotlib库。例如，可以使用以下代码绘制上述函数的e与n的对数-对数图：

import matplotlib.pyplot as plt

n_values = [5, 10, 50, 100, 500, 1000]
errors = []

for n in n_values:
    errors.append(linear_system_error(n))

plt.loglog(n_values, errors)
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("Error")
plt.show()

希望这可以帮助您。

### 回答2：
下面是一个用Python编写的函数程序，实现了输入一个数字n，生成一个随机n×n矩阵a和一个随机向量b，并求解线性系统Ax = b，计算残差r = Ax−b的范数，并输出该数字作为误差e。然后使用loglog函数，绘制了e与n的对数-对数图。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def linear_system(n):
    # 生成随机矩阵a和向量b
    a = np.random.rand(n, n)
    b = np.random.rand(n)
    
    # 解线性系统Ax = b
    x = np.linalg.solve(a, b)
    
    # 计算残差r = Ax - b的范数
    r = np.linalg.norm(np.dot(a, x) - b)
    
    # 输出误差e
    e = r
    print("误差e:", e)
    
    return e

# 设置n的取值
ns = [5, 10, 50, 100, 500, 1000]

# 初始化误差e列表
es = []

# 计算不同n对应的误差e
for n in ns:
    e = linear_system(n)
    es.append(e)

# 绘制e与n的对数-对数图
plt.loglog(ns, es)
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('e')
plt.title('误差e与n的对数-对数图')
plt.show()

这个程序首先定义了一个linear_system函数，接受一个参数n。在函数内部，它使用numpy模块生成大小为n×n的随机矩阵a和长度为n的随机向量b，并使用numpy.linalg.solve函数求解线性系统Ax = b。然后计算残差r = Ax - b的范数，并将其作为误差e输出。

接下来，定义了一个包含不同n取值的列表ns，然后使用一个循环，依次调用linear_system函数计算不同n对应的误差e，并将其添加到一个列表es中。最后，使用matplotlib模块的loglog函数绘制e与n的对数-对数图，横轴为n，纵轴为e，以直观展示它们之间的关系。

### 回答3：
下面是一个实现上述要求的Python函数程序：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def solve_linear_system(n):
    # 生成随机矩阵A和向量b
    A = np.random.rand(n, n)
    b = np.random.rand(n)
    
    # 求解线性系统 Ax = b
    x = np.linalg.solve(A, b)
    
    # 计算残差的范数
    r = np.linalg.norm(np.dot(A, x) - b)
    
    # 计算误差
    e = np.log10(r)
    
    return e

# 需要测试的n的值
n_values = [5, 10, 50, 100, 500, 1000]

errors = []
for n in n_values:
    e = solve_linear_system(n)
    errors.append(e)

# 绘制误差与n的对数-对数图
plt.loglog(n_values, errors)
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('e')
plt.title('Log-Log Plot of Error')
plt.show()

其中，`numpy`库用于进行矩阵和向量的计算，`matplotlib`库用于绘制图形。函数`solve_linear_system(n)`接受一个数字n作为输入，生成一个随机的n×n矩阵A和一个随机向量b，并求解线性系统Ax = b，计算残差r，最后返回其对数值作为误差e。

然后，我们定义需要测试的n值的列表`n_values`，并循环遍历每个n值，调用`solve_linear_system(n)`函数计算相应的误差，并将其加入到`errors`列表中。最后，使用`matplotlib`库的`loglog`函数绘制误差与n的对数-对数图。