Fisher 线性判别分析

Fisher 线性判别分析（Fisher Linear Discriminant Analysis, FLDA）是一种监督学习的分类方法。它的目标是找到一个投影方式，可以将样本投影到一条直线上，使得同类样本的投影点尽量接近，异类样本的投影点尽量分开。这条直线称为 Fisher 分类线。

具体地说，FLDA 的过程可以分为以下几步：

1. 计算各类别样本的均值向量，以及所有样本的均值向量。

2. 计算类内散度矩阵（Within-class scatter matrix）和类间散度矩阵（Between-class scatter matrix）：

类内散度矩阵 $S_w = \sum_{i=1}^{c}S_i$，其中 $S_i=\sum_{x\in X_i}(x-\mu_i)(x-\mu_i)^T$，$c$ 为类别数，$X_i$ 为第 $i$ 类的样本集合，$\mu_i$ 为第 $i$ 类样本的均值向量。

类间散度矩阵 $S_b = \sum_{i=1}^{c}n_i(\mu_i-\mu)(\mu_i-\mu)^T$，其中 $n_i$ 为第 $i$ 类样本的个数，$\mu$ 为所有样本的均值向量。

3. 计算 Fisher 准则函数 $J(w)=\frac{wS_bw^T}{wS_ww^T}$，其中 $w$ 为投影向量。我们的目标是使 $J(w)$ 最大。

4. 对 $J(w)$ 进行求解，得到投影向量 $w$。

5. 对新的样本进行分类时，将其投影到 $w$ 方向上，根据投影点的位置确定其所属类别。

FLDA 相比于其他线性分类方法（如 PCA）的优势在于，它是基于类别信息进行投影的，因此可以更好地区分不同类别之间的差异，提高分类准确率。缺点在于，FLDA 的前提是各类别的分布满足高斯分布，而且协方差矩阵相等。如果不满足这些条件，FLDA 可能会产生较差的效果。