用一个简单的例子说明奇异值分解
时间: 2024-01-22 14:20:46 浏览: 27
假设我们有一个矩阵 A,其大小为 4x3(4行3列):
```
A = [[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9],
[10, 11, 12]]
```
我们可以对 A 进行奇异值分解(Singular Value Decomposition,简称 SVD),将其分解成三个矩阵的乘积:
```
A = UΣV^T
```
其中 U 和 V 为正交矩阵,Σ 为对角矩阵,对角线上的元素称为奇异值。具体来说,我们可以按照以下步骤进行奇异值分解:
1. 求出 A 的转置矩阵 AT 与 A 的乘积 AA^T:
```
AT = [[1, 4, 7, 10],
[2, 5, 8, 11],
[3, 6, 9, 12]]
AA^T = [[14, 32, 50],
[32, 77, 122],
[50, 122, 194]]
```
2. 对 AA^T 进行特征值分解,求出其特征值 λ1=246.9、λ2=0.1、λ3=0,以及对应的特征向量 u1=[-0.229, -0.524, -0.819]、u2=[-0.883, 0.367, 0.284]、u3=[-0.408, 0.707, -0.577]。
3. 对特征向量进行单位化,得到正交矩阵 U:
```
U = [[-0.229, -0.524, -0.819],
[-0.524, 0.789, -0.321],
[-0.819, -0.321, 0.476]]
```
4. 求出 A^T 与 A 的乘积 A^TA:
```
A^T = [[1, 4, 7, 10],
[2, 5, 8, 11],
[3, 6, 9, 12]]
A^TA = [[166, 188, 210],
[188, 214, 240],
[210, 240, 270]]
```
5. 对 A^TA 进行特征值分解,求出其特征值 σ1=14.0、σ2=0.3、σ3=0,以及对应的特征向量 v1=[-0.438, -0.690, -0.577]、v2=[-0.690, 0.537, -0.484]、v3=[-0.577, -0.484, 0.658]。
6. 对特征向量进行单位化,得到正交矩阵 V:
```
V = [[-0.438, -0.690, -0.577],
[-0.690, 0.537, -0.484],
[-0.577, -0.484, 0.658]]
```
7. 将特征值构成对角矩阵Σ:
```
Σ = [[3.7, 0, 0],
[0, 0.55, 0],
[0, 0, 0]]
```
8. 将 U、Σ、V 带入 SVD 的公式中:
```
A = UΣV^T = [[-0.229, -0.524, -0.819],
[-0.524, 0.789, -0.321],
[-0.819, -0.321, 0.476]] *
[[3.7, 0, 0],
[0, 0.55, 0],
[0, 0, 0]] *
[[-0.438, -0.690, -0.577],
[-0.690, 0.537, -0.484],
[-0.577, -0.484, 0.658]]^T
```
其中 V^T 表示 V 的转置矩阵,由于 V 是一个正交矩阵,因此 V^T 等于 V 的逆矩阵。
这样,我们就完成了对矩阵 A 的奇异值分解。通过 SVD,我们得到了三个矩阵 U、Σ、V,它们的乘积等于原始矩阵 A。其中,U 和 V 是正交矩阵,Σ 是对角矩阵,对角线上的元素称为奇异值。在实际应用中,SVD 可以用来压缩数据、降维、去噪等操作。
相关推荐
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![xlsx](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083732.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)