高效求解 目的:掌握递归算法的设计 内容:编写一个递归程序求解,要求最多使用次递归调用。
时间: 2024-10-19 12:05:12 浏览: 25
递归算法是一种解决问题的技术,它通过将复杂的问题分解成规模更小、结构相似的子问题,并不断调用自身来解决这些子问题,直到达到基本情况(也称作递归终止条件),然后逐层返回结果。设计递归算法的关键在于设定好合适的递归步骤和基础情况。
为了“最多使用n次递归调用”求解某个问题,你需要确保你的函数每次调用都会减少一个问题的状态或规模,直到问题变得简单到可以直接返回,即递归深度恰好等于n。例如,对于计算斐波那契数列的第n项,如果允许最多n次递归,你可以采用一种记忆化搜索(如动态规划)的方式来避免重复计算,确保总共只有n次递归调用。
下面是一个简单的例子,假设我们想编写一个函数来计算阶乘:
```python
def factorial(n, memo={}):
if n == 0 or n == 1: # 基础情况
return 1
elif n in memo: # 如果已经计算过
return memo[n]
else: # 递归情况
memo[n] = n * factorial(n - 1) # 记录并计算
return memo[n]
# 只有当n正好等于递归次数时,才会真正进行n次递归
print(factorial(5)) # 这里最多会调用5次,因为n=5
```
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下面是一个递归高效求解 $x^n$ 的 Python 代码,最多使用 log2n 次递归调用:
```python
def fast_pow(x, n):
if n == 0:
return 1
elif n == 1:
return x
elif n % 2 == 0:
return fast_pow(x * x, n // 2)
else:
return x * fast_pow(x * x, (n - 1) // 2)
```
代码中用到了二分法的思想,将 $x^n$ 分解为 $(x^2)^{\frac{n}{2}}$,这样每次递归调用时,指数都会减半。当指数为偶数时,直接将底数平方并继续递归;当指数为奇数时,先递归计算 $(x^2)^{\frac{n-1}{2}}$,再将其乘以 $x$,即可得到 $x^n$ 的值。这样,递归调用的次数就只有 log2n 次了。
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以下是exp5-1.py的代码实现:
```python
def power(x, n):
if n == 0:
return 1
elif n % 2 == 0:
t = power(x, n // 2)
return t * t
else:
t = power(x, (n - 1) // 2)
return x * t * t
x = float(input("请输入底数 x:"))
n = int(input("请输入指数 n:"))
result = power(x, n)
print(f"{x} 的 {n} 次方为:{result}")
```
我们采用了分治的思想,如果n为偶数,则将xⁿ拆分为(xⁿ/2)²,如果n为奇数,则将xⁿ拆分为x * (xⁿ-1/2)²。通过这种方式,每次递归调用可以将指数缩小一半,最终实现了最多使用log2ⁿ次递归调用的要求。
例如,当输入底数为2,指数为10时,程序的输出为:
```
请输入底数 x:2
请输入指数 n:10
2.0 的 10 次方为:1024.0
```
当输入底数为3,指数为5时,程序的输出为:
```
请输入底数 x:3
请输入指数 n:5
3.0 的 5 次方为:243.0
```
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