高效求解 目的：掌握递归算法的设计 内容：编写一个递归程序求解，要求最多使用次递归调用。

递归算法是一种解决问题的技术，它通过将复杂的问题分解成规模更小、结构相似的子问题，并不断调用自身来解决这些子问题，直到达到基本情况（也称作递归终止条件），然后逐层返回结果。设计递归算法的关键在于设定好合适的递归步骤和基础情况。

为了“最多使用n次递归调用”求解某个问题，你需要确保你的函数每次调用都会减少一个问题的状态或规模，直到问题变得简单到可以直接返回，即递归深度恰好等于n。例如，对于计算斐波那契数列的第n项，如果允许最多n次递归，你可以采用一种记忆化搜索（如动态规划）的方式来避免重复计算，确保总共只有n次递归调用。

下面是一个简单的例子，假设我们想编写一个函数来计算阶乘：

def factorial(n, memo={}):
    if n == 0 or n == 1: # 基础情况
        return 1
    elif n in memo: # 如果已经计算过
        return memo[n]
    else: # 递归情况
        memo[n] = n * factorial(n - 1) # 记录并计算
        return memo[n]

# 只有当n正好等于递归次数时，才会真正进行n次递归
print(factorial(5))  # 这里最多会调用5次，因为n=5

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下面是一个递归高效求解 $x^n$ 的 Python 代码，最多使用 log2n 次递归调用：

def fast_pow(x, n):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return x
    elif n % 2 == 0:
        return fast_pow(x * x, n // 2)
    else:
        return x * fast_pow(x * x, (n - 1) // 2)

代码中用到了二分法的思想，将 $x^n$ 分解为 $(x^2)^{\frac{n}{2}}$，这样每次递归调用时，指数都会减半。当指数为偶数时，直接将底数平方并继续递归；当指数为奇数时，先递归计算 $(x^2)^{\frac{n-1}{2}}$，再将其乘以 $x$，即可得到 $x^n$ 的值。这样，递归调用的次数就只有 log2n 次了。