单纯形法求解线性规划问题例题

好的，以下是一个线性规划问题的例子，我们将使用单纯形法进行求解：

Maximize: 2x1 + 3x2

Subject to:

- x1 + x2 ≤ 4
- 2x1 + x2 ≤ 5
- x1, x2 ≥ 0

首先，将所有约束转换为等式形式：

- x1 + x2 + s1 = 4
- 2x1 + x2 + s2 = 5

其中，s1和s2是松弛变量，使得约束变为等式。现在，将目标函数转换为标准形式：

Maximize: 2x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2

我们将使用初始化表格：

| | x1 | x2 | s1 | s2 | RHS |
|---|----|----|----|----|-----|
| s1| 1 | 1 | 1 | 0 | 4 |
| s2| 2 | 1 | 0 | 1 | 5 |
| z | -2 | -3 | 0 | 0 | 0 |

现在，我们需要选择一个入基变量和一个出基变量。我们使用最小比率法来选择出基变量：

- 对于第一行，最小比率是4，对于第二行，最小比率是5/2，因此我们选择第二行的s2作为出基变量。
- 对于列，我们选择z系数最小的列，也就是x2列作为入基变量。

通过高斯-约旦消元法，我们得到新的表格：

| | x1 | x2 | s1 | s2 | RHS |
|---|----|----|----|----|-----|
| s1| 1 | 0 | 1 | -1 | 1 |
| x2| 2 | 1 | 0 | 1/2| 5/2 |
| z | -2 | 0 | 0 | 3/2| 15/2|

我们继续选择入基变量和出基变量：

- 对于第一行，最小比率是1，对于第二行，最小比率是5/4，因此我们选择第一行的s1作为出基变量。
- 对于列，我们选择z系数最小的列，也就是x1列作为入基变量。

通过高斯-约旦消元法，我们得到新的表格：

| | x1 | x2 | s1 | s2 | RHS |
|---|----|----|----|----|-----|
| x1| 1 | 0 | 1 | -1 | 1 |
| x2| 0 | 1 | -1/2| 3/4| 5/4 |
| z | 0 | 0 | 3/2| 1/2| 25/4|

现在，我们已经得到最优解，z的值为25/4，x1的值为1，x2的值为5/4。因此，原始问题的最优解是Maximize: 2x1 + 3x2 = 2(1) + 3(5/4) = 17/2。