绘制不带噪声的正弦信号的自相关函数

假设正弦信号的形式为 $x(t) = A\sin(\omega t)$，其中 $A$ 是振幅，$\omega$ 是角频率。

自相关函数的定义为：

$$R(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t-\tau) dt$$

将 $x(t) = A\sin(\omega t)$ 代入上式，得到：

$$R(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} A\sin(\omega t)A\sin(\omega(t-\tau)) dt$$

根据正弦函数的性质，$\sin(x)$ 与 $\sin(x+\pi)$ 的乘积为 $-\frac{1}{2}\cos(2x)$，因此：

$$R(\tau) = \frac{A^2}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \cos(\omega\tau) - \cos(2\omega t - \omega\tau) dt$$

由于 $\cos(\omega\tau)$ 是常数，可以移到积分号外：

$$R(\tau) = \frac{A^2}{2} \cos(\omega\tau) \int_{-\infty}^{\infty} dt - \frac{A^2}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \cos(2\omega t - \omega\tau) dt$$

第一个积分为无穷大，因此为零。第二个积分可以通过换元法得到：

$$\int_{-\infty}^{\infty} \cos(2\omega t - \omega\tau) dt = \frac{1}{2\omega} \sin(\omega\tau)$$

将其代入上式，得到：

$$R(\tau) = \frac{A^2}{2} \cos(\omega\tau) \cdot \frac{1}{2\omega} \sin(\omega\tau) = \frac{A^2}{4\omega} \sin(\omega\tau)\cos(\omega\tau)$$

由于 $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$，因此：

$$R(\tau) = \frac{A^2}{8\omega} \sin(2\omega\tau)$$

这就是不带噪声的正弦信号的自相关函数。